很多人对二分感到很苦恼，很困惑，可能是因为二分的边界很难掌握，也许是判断条件难写…

然而，很幸运，你找到了这篇文章，仔细看下去，这篇文章将带你学透二分！！！

二分可以简单分为二分查找与二分答案。

可能你听说过二分查找，二分查找和二分答案是不是一回事呢？答案是否定的。二分查找只是单纯的查找就可以了，简单的控制好边界条件。而二分答案也许稍复杂些。

首先，我们看一下二分的模板：

模板1：

	while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;	//(l+r)/2
        if (check(mid))  r = mid;    // check()判断mid是否满足性质
        else l = mid + 1;
    }

模板2：

	while (l < r)
    {
        int mid = l + r + 1 >> 1;	//(l+r+1)/2
        if (check(mid))  l = mid;
        else r = mid - 1;
    }

看到这，以后的你就不会因为边界问题而困惑了！！！

第一个模板是尽量往左找目标，第二个模板是尽量往右找目标。

只要是往左找答案，就用第一个模板，mid不用加一，r=mid，l加一；
只要是往右找答案，就用第二个模板，mid要加一，l=mid，r要减一；

二分套这两个模板，肯定没错！（只要判断条件写对）亲测有效！！！
下面的题目更能证明这句话！

这两个模板一定要牢牢记住哦

当然，二分可能在实数中进行，那自然少不了浮点二分。

模板3：（浮点二分）

	while(r-l>1e-5) //需要一个精度保证
	{
		double mid = (l+r)/2;
		if(check(mid)) l=mid; //或r=mid;
		else r=mid; //或l=mid;
	}

浮点二分就相对简单多了，因为浮点除法不会取整，所以mid，l，r，都不用加1或减1.

我们先来学二分查找：

二分查找也称折半查找，顾名思义，就是每次查找去掉不符合条件的一半区间，直到找到答案（整数二分）或者和答案十分接近（浮点二分）。

光说不练假把式，来个例题：

例题1——查找

分析：这题就是典型的二分查找入门题。

首先，区间是有单调性的，查找第一次出现的位置，如果查到一个值比目标值大，就把右半边放弃，因为右半边肯定也比目标值大；同样，如果查到值比目标值小，那就放弃左半边。

本文的所有例题都有分析，题解，并注上详细注释。先自己尝试一下，再看题解哦。

code：

#include<iostream>
using namespace std;

const int N=1000010;
int a[N],x,q,n;

int main(){
	cin>>n>>q;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
	
	while(q--)
	{
		cin>>x;
		int l=1,r=n; //左右边界 
		while(l<r) //因为是找第一次出现的位置，那就是尽量往左来，就用模板1 
		{
			int mid=l+r>>1;
			if(a[mid]>=x) r=mid; //判断条件，如果值大于等于目标值，说明在目标值右边，尽量往左来
			else l=mid+1;
		}
		if(a[l]!=x){ //如果找不到这个值 
			cout<<-1<<" ";
			continue;
		}
		cout<<l<<" ";
	}
	return 0;
} 

有一个小问题就是，如果找不到这个值（即，集合里没有这个数）怎么办？因为判断条件是大于等于目标值，那返回的就是第一个大于目标值的位置。

好了，现在的你已经进入了二分世界的大门，此时让我们畅游吧！

例2——A-B 数对

分析：给出了C，我们要找出A和B。我们可以遍历数组，即让每一个值先变成B，然后二分找对应的A首次出现位置，看是否能找到。

如果找到A，那就二分找最后出现的位置，继而，求出A的个数，即数对的个数。

code：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=200010;
long long a[N],n,c,cnt,st;

int main(){
	cin>>n>>c;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
	sort(a+1,a+1+n);	//先排序 
	
	for(int i=1;i<n;i++)	//遍历每一个B 
	{
		int l=i+1,r=n;	//寻找A第一次出现的位置，使得A-B=C 
		while(l<r) //因为是第一次出现，尽量往左，模板1
		{
			int mid=l+r>>1;
			if(a[mid]-a[i]>=c) r=mid;	//判断：在目标值的右边，满足，往左来
			else l=mid+1;
		}
		if(a[l]-a[i]==c) st=l; //能找到C就继续 
		else continue;
		
		l=st-1,r=n;	//查找A最后出现的位置 
		while(l<r) //因为是最后一次出现，尽量往右，模板2
		{
			int mid=l+r+1>>1;
			if(a[mid]<=a[st]) l=mid; //判断：在目标值的左边，满足，往右去
			else r=mid-1;
		}
		cnt+=l-st+1;	//最后出现的位置减首次出现的位置就是区间长度，即A的个数 
	}
	cout<<cnt;
	return 0;
} 

如果你把上面的两个题完全搞懂了，那很容易就抽象出做题步骤：

如果题目明确说了 要求最小值（最前面的值）还是求最大值（最后面的值），就能判断是用模板1（求最小），还是用模板2（求最大）。
之后再根据模板1，或模板2，写出对应的判断条件；

但是，我们不建议死记模板，更重要的是在理解之后的灵活变通。比如，再看一个题。

例3——烦恼的高考志愿

分析：这题，就需要稍微理解一下下。

要求估分和分数线相差最小，那肯定分数线刚超过估分或者估分刚超过分数线。我们就转化为，求第一个大于等于估分的分数线的位置。

如此，这个位置的分数线或前一位置的分数线就是和估分相差最小的。

code：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=1e5+10;
long long a[N],x,sum,n,m;

int main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
	sort(a+1,a+n+1); //排序勿忘 
	a[0]=-1e12;a[n+1]=1e12;	 //最后再解释
	
	while(m--)
	{
		cin>>x;
		int l=1,r=n+1;	//r设为n+1 
		while(l<r) //寻找第一个超过估分的学校，那它或它前面的一个学校就是目标学校 
		{
			int mid=l+r>>1;
			if(a[mid]>=x) r=mid;
			else l=mid+1;
		}
		if(a[l]-x<=x-a[l-1]) sum+=a[l]-x;
		else sum+=x-a[l-1];
	}
	
	cout<<sum;
	return 0;
	//a[0]=-1e12: 所有分数先可能都比估分大，那么l就为1，n-1就为0，故设a[0]为无穷小，则第一个值就为解 
	//a[n+1]=1e12: 所有分数线可能都比估分小，那么l就为n,a[l]-x可能为负，则设a[n+1]为无穷大，
				//并将r设为n+1，如此，l最大为n+1，则最后一个就为解 
}

此外，STL中还有两个二分函数：lower_bound 和 upper_bound；具体可以看这个博客；或这个（有很多大佬总结的知识点都很好，有啥不懂的话都可以翻博客）
有了这两个函数，我们就可以很方便的求出第一个大于（或等于）目标值的位置；于是，上面代码的中间可以这样改：

while(m--)
	{
		cin>>x;
		int t=lower_bound(a+1,a+n+1,x)-a; //如果分数线都比估分低，那返回的位置是n+1，否则返回第一个大于等于估分的位置。
		if(a[t]-x<=x-a[t-1]) sum+=a[t]-x;
		else sum+=x-a[t-1];
	}

是不是简洁多了？

最后，我们再来看一个浮点二分：

例4——银行贷款

分析：对于月利率，大几率是小数，那么，我们就需要浮点二分。

月利率的范围可以放大些，比如，0~500，然后从这个范围里查，直到和答案极度相近，终止。 最后的l或r，精确位数之后就是正确✔答案啦！

code：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int sum,t,mon;
double sumt;

int check(double mid)
{
	sumt=sum;
	for(int i=1;i<=mon;i++){
		sumt=sumt+sumt*mid-t;
	}
	if(sumt > 0) return 1; 				//这里是>0, 感谢评论区小伙伴提醒~
	return 0;
} 

int main(){
	cin>>sum>>t>>mon;
	
	double l=0,r=500; //答案范围尽量开大些
	while(r-l>1e-5)	//精度保证 
	{
		double mid=(l+r)/2;
		if(check(mid)) r=mid;	//如果最后还不完了，说明利率高了 	
		else l=mid;
	}
	printf("%.1f",l*100);
	return 0;
} 

至此，相信你已经对二分查找有一个更加清晰的认识了。

课后再来几个练习题吧：
整数二分：
1、 数的范围
2、 砍树
实数二分：
3、 数的三次方根
4、 一元三次方程求解

学会了二分查找，来学二分答案！

首先:

二分查找与二分答案有何区别?

二分查找：在一个已知的有序数据集上进行二分地查找
二分答案：答案有一个区间，在这个区间中二分，直到找到最优答案

什么是二分答案？

答案属于一个区间，当这个区间很大时，暴力超时。但重要的是——这个区间是对题目中的某个量有单调性的，此时，我们就会二分答案。每一次二分会做一次判断，看是否对应的那个量达到了需要的大小。
判断：根据题意写个check函数，如果满足check，就放弃右半区间（或左半区间），如果不满足，就放弃左半区间（或右半区间）。一直往复，直至到最终的答案。

其实，上面二分查找的例4，寻找的那个区间就是答案区间。

这不就相当于高中做选择题的时候，完了，不会做，那咋搞，把四个选项代进去看看对不对吧！哪个行得通那个就是答案！！

只不过我们现在要找的是最大的或者最小的答案。

如何判断一个题是不是用二分答案做的呢?

1、答案在一个区间内（一般情况下，区间会很大，暴力超时）

2、直接搜索不好搜，但是容易判断一个答案可行不可行

3、该区间对题目具有单调性，即：在区间中的值越大或越小，题目中的某个量对应增加或减少。

此外，可能还会有一个典型的特征：求...最大值的最小 、 求...最小值的最大。
1、求...最大值的最小，我们二分答案（即二分最大值）的时候，判断条件满足后，尽量让答案往前来（即：让r=mid），对应模板1；
2、同样，求...最小值的最大时，我们二分答案（即二分最小值）的时候，判断条件满足后，尽量让答案往后走（即：让l=mid），对应模板2；

先看一个经典的二分答案入门：

例1——木材加工

分析：看，答案就在区间（1，100000000）里，就等着我们找呢，暴力肯定超时，那可能就用二分。

满足条件：

1，答案在一个区间里。
2，如果给一个答案，给目标一个小段的长度，很容易判断是否到K个了。
3，具有单调性，目标小段越长，那能切出的段数越少，目标小段越短，能切出的段数越多。而最终需要K个，从而很容易判断一个答案行不行。

一看求啥，求最长长度，最长？这不，关门打狗，模板2！ ！

那，判断条件？模板2，如果满足判断，l=mid。啥叫满足呢？那肯定是满足需要的段数了呗！

code：

#include<iostream>
using namespace std;

const int N=1e5+10;
long long a[N],n,m,sum,maxa;

int check(int mid)
{
	int sum=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		sum+=a[i]/mid;
	}
	if(sum>=m) return 1; //总段数大于等于所需要的 
	return 0;
} 
int main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i],sum+=a[i];
		if(a[i]>maxa) maxa=a[i];  
	}
	
	if(sum<m){cout<<0;return 0;} //先判断是否有解 
	
	int l=1,r=maxa;
	while(l<r) //模板2 
	{
		int mid=l+r+1>>1;
		if(check(mid)) l=mid; 
		else r=mid-1;
	}
	cout<<l;
	return 0;
}

是不是感觉很有意思？

再来看个经典的

例2——跳石头

分析：看题，这是啥？最短距离的最大值！这不就是二分答案的典型特征？还想啥，二分！

求最大？上模板2！！ 那，判断条件？

这时候就要注意了，我们二分的是最短距离，通过二分将这个最短距离（答案）最大化。那我们判断的时候肯定要保证mid是最短距离。

如何保证？我们要求抽过石头剩下的石头中，两个石头间的最短距离为mid，那就要保证剩下的任意两个间距都要大于等于mid。要保证这个，那就只能挑间距大于等于mid的石头跳，中间的石头都将会被抽走。

最后，计数可以被抽走的石头。如果可以被抽走的石头个数小于等于需要抽的M个了，就说明满足条件。因为：既然抽了小于M个都能满足剩下的石头中，两石头间的距离都大于等于mid了，那抽M个，更能满足！

有点晕？没关系！看了代码就懂了！

code：

#include<iostream>
using namespace std;

const int N=50010;
int a[N],n,len,m,mina=1e9+1,b[N];

int check(int mid)	//检查，是否最短距离为mid，如果两石头间距小于mid，不满足，移走 
{
	int cnt=0;
	int i=0,now=0;	//i表示目标位置，now为当前位置。
	while(i<n+1){
		i++;
		if(a[i]-a[now]<mid){ //两石头间距离小于mid，mid不是最短距离，不满足，移走该石头 
			cnt++;
		}
		else{	//符合，跳过去 
			now=i;
		}
	}
	if(cnt<=m) return 1;	//移走的石头个数小于 M，就能保证了任意两剩下的石头间距大于等于最短距离mid，那移走M个，更能保证 
	return 0;
}

int main(){
	cin>>len>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
		if(a[i]<mina) mina=a[i];
	}
	a[0]=0,a[n+1]=len; //首尾都有石头
	
	if(n==0){ //特判掉起点和终点之间没有石头的情况，可以想一下为什么。评论区中有答案。感谢 luojias 同学的hack数据！
		cout<<len; return 0;
	}

	//二分答案：检查每一个答案（最短距离mid）是否符合要求 
	long long l=1,r=1e10;
	while(l<r) //模板2
	{
		int mid=l+r+1>>1;
		if(check(mid)) l=mid; //要的是距离的最大，所以尽可能地往右走 
		else r=mid-1;
	}
	cout<<l;
	return 0;
} 

还没懂？没关系，我们再看一题！

例3——丢瓶盖

分析：距离最近的2个瓶盖距离最大？ 最短距离的最大值！ 二分！！

看——求最大值，模板二！

判断条件check：与上题不同的是，这题是保证拿走的那些瓶盖之间的最短距离最大（上题是保证剩下的石头最短距离最大，这两个容易混淆。是我没错了… ），那么，遍历的时候，只要满足这次和上次拿的那个瓶盖间距大于等于mid，就可以拿了。这样就保证了我们找的最短距离mid是最短的间距。

最后如果拿出的总瓶盖数大于等于目标值，就说明满足判断。因为：既然拿了超过目标值就能满足拿走的瓶盖间距大于等于mid，那拿目标值(B)个，肯定更能满足！

code：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N=100010;
int a[N],n,m,maxa;

//注意：这是拿出来的那些里，mid为最短距离，和跳石头不同的是，跳石头是在留下的里面，mid为最短距离 
int check(int mid)
{
	//now为最后一次拿的瓶盖位置，i为当前遍历的位置
	int i=1,now=1,cnt=0; 注意：第一个瓶盖必选，才能保证剩下的距离最大，从而挑出的瓶盖间最短距离最大化 
	while(i<n)
	{
		i++;
		if(a[i]-a[now]>=mid){ //保证拿走的瓶盖间距大于等于mid，才拿这个瓶盖，否则不能保证mid为最短距离
			now=i,cnt++;
		}
	}
	if(cnt+1>=m) return 1;	//如果拿出的总个数大于等于m，都能保证拿走的瓶盖间距大于等于mid，那拿出来m个，肯定也能满足！！
	return 0;

}
int main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
		if(a[i]>maxa) maxa=a[i]; 
	}
	sort(a+1,a+n+1);
	
	int l=0,r=maxa;
	while(l<r) //模板2
	{
		int mid=l+r+1>>1;
		if(check(mid)) l=mid;
		else r=mid-1;
	}
	cout<<l<<endl;
	
}

做了上面两题，我们差不多又可以总结出规律了，心里是不是有点小激动？

最大值最小，最小值最大 类 问题解题方向：

最短距离最大化问题：保证任意区间距离要比最短距离mid大或相等（这样，mid才是最短距离）即：区间的距离>=mid

最长距离最小化问题：保证任意区间距离要比最大距离mid小或相等（这样，mid才是最大距离）即：区间的距离<=mid

哈哈哈，是不是太有趣啦？

快快，趁热打铁，再来！！

例4——数列分段 Section II

分析：没错，这次是最大值最小！
求最小值？ 哎对，模板1！
判断条件：要保证：每一段的和都小于等于最大值。也就是说，只要这一段的和加上下一个值大于最大值了，那下一个值加不得，得分段！接着段数++；
最后，统计出的总段数(cnt+1)小于等于目标值了，那就算满足；因为，既然分了小于目标值个段都能保证每段的和小于等于最大值，那么分目标值个段肯定还能保证！

还有一个小细节：l，和 r 的初始化。
所有段中的最大和肯定大于等于数列中的最大值（因为最大值最少单成一段，那所有段中的最大的和肯定要大于等于最大值），所以l要初始化为maxa。
同样，所有段中和的最大值，最大不过数列中的所有值的和。

code：

#include<iostream>
using namespace std;

const int N=100010;
typedef long long ll;
ll a[N],n,m,summ,mina=1e9+1,maxa;

int check(int mid)
{
	ll cnt=0,sum=0;
	for(int i=1;i<=n-1;i++)
	{
		sum+=a[i];
		if(sum+a[i+1]>mid) cnt++,sum=0; //不能满足 "区间间距小于最大距离"，那就分段 
	}
	if(cnt+1<=m) return 1;	//总的段数小于等于需要的段数，这样都能满足mid为每段的最大值，那么多分几段，肯定还能满足 
	return 0;
}
int main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i],summ+=a[i];	
		if(a[i]<mina) mina=a[i];
		if(a[i]>maxa) maxa=a[i];
	}
	
	int l=maxa,r=summ;	//l要设为maxa，所有段的最大值肯定大于等于maxa 
	while(l<r)
	{
		int mid=l+r>>1;
		if(check(mid)) r=mid; //求的是最大值的最小，故尽量往左来 
		else l=mid+1;
	}
	cout<<l;
	return 0;
} 

好啦，至此，二分答案你就差不多掌握了。方法说的都是实打实的；
最后，在给出几道练习题吧：
1、进击的奶牛
2、路标设置
3、最佳牛围栏
4、kotori的设备

本文的课后练习题的答案在这个博客里。

相信看到这的你一定收获了不少吧。

讲的有点多，看不完的话可以先收藏。如果有没讲到的，后续会再更新。

有哪里不明白的话欢迎留言或评论，相互讨论，共同进步！

哪里写的有问题的话，还请大佬们不吝赐教。

参考博客：https://www.it610.com/article/1292865348768440320.htm