python解决微分方程(数值解法)
Python求解微分方程(数值解法)对于一些微分方程来说,数值解法对于求解具有很好的帮助,因为难以求得其原方程。比如方程:但是我们知道了它的初始条件,这对于我们叠代求解很有帮助,也是必须的。那么现在我们也用Python去解决这一些问题,一般的数值解法有欧拉法、隐式梯形法等,我们也来看看这些算法对叠代的精度有什么区别?```python```pythonimport numpy as npfrom
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Python求解微分方程(数值解法)
对于一些微分方程来说,数值解法对于求解具有很好的帮助,因为难以求得其原方程。
比如方程:
但是我们知道了它的初始条件,这对于我们叠代求解很有帮助,也是必须的。
那么现在我们也用Python去解决这一些问题,一般的数值解法有欧拉法、隐式梯形法等,我们也来看看这些算法对叠代的精度有什么区别?
```python
```python
import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
from matplotlib import pyplot as plt
import os
#先从odeint函数直接求解微分方程
#创建欧拉法的类
class Euler:
#构造方法,当创建对象的时候,自动执行的函数
def __init__(self,h,y0):
#将对象与对象的属性绑在一起
self.h = h
self.y0 = y0
self.y = y0
self.n = 1/self.h
self.x = 0
self.list = [1]
#欧拉法用list列表,其x用y叠加储存
self.list2 = [1]
self.y1 = y0
#改进欧拉法用list2列表,其x用y1叠加储存
self.list3 = [1]
self.y2 = y0
#隐式梯形法用list3列表,其x用y2叠加储存
#欧拉法的算法,算法返回t,x
def countall(self):
for i in range(int(self.n)):
y_dere = -20*self.list[i]
#欧拉法叠加量y_dere = -20 * x
y_dere2 = -20*self.list2[i] + 0.5*400*self.h*self.list2[i]
#改进欧拉法叠加量 y_dere2 = -20*x(k) + 0.5*400*delta_t*x(k)
y_dere3 = (1-10*self.h)*self.list3[i]/(1+10*self.h)
#隐式梯形法计算 y_dere3 = (1-10*delta_t)*x(k)/(1+10*delta_t)
self.y += self.h*y_dere
self.y1 += self.h*y_dere2
self.y2 =y_dere3
self.list.append(float("%.10f" %self.y))
self.list2.append(float("%.10f"%self.y1))
self.list3.append(float("%.10f"%self.y2))
return np.linspace(0,1,int(self.n+1)), self.list,self.list2,self.list3
step = input("请输入你需要求解的步长:")
step = float(step)
work1 = Euler(step,1)
ax1,ay1,ay2,ay3 = work1.countall()
#画图工具plt
plt.figure(1)
plt.subplot(1,3,1)
plt.plot(ax1,ay1,'s-.',MarkerFaceColor = 'g')
plt.xlabel('横坐标t',fontproperties = 'simHei',fontsize =20)
plt.ylabel('纵坐标x',fontproperties = 'simHei',fontsize =20)
plt.title('欧拉法求解微分线性方程步长为'+str(step),fontproperties = 'simHei',fontsize =20)
plt.subplot(1,3,2)
plt.plot(ax1,ay2,'s-.',MarkerFaceColor = 'r')
plt.xlabel('横坐标t',fontproperties = 'simHei',fontsize =20)
plt.ylabel('纵坐标x',fontproperties = 'simHei',fontsize =20)
plt.title('改进欧拉法求解微分线性方程步长为'+str(step),fontproperties = 'simHei',fontsize =20)
plt.subplot(1,3,3)
plt.plot(ax1,ay3,'s-.',MarkerFaceColor = 'b')
plt.xlabel('横坐标t',fontproperties = 'simHei',fontsize =20)
plt.ylabel('纵坐标x',fontproperties = 'simHei',fontsize =20)
plt.title('隐式梯形法求解微分线性方程步长为'+str(step),fontproperties = 'simHei',fontsize =20)
plt.figure(2)
plt.plot(ax1,ay1,ax1,ay2,ax1,ay3,'s-.',MarkerSize = 3)
plt.xlabel('横坐标t',fontproperties = 'simHei',fontsize =20)
plt.ylabel('纵坐标x',fontproperties = 'simHei',fontsize =20)
plt.title('三合一图像步长为'+str(step),fontproperties = 'simHei',fontsize =20)
ax = plt.gca()
ax.legend(('$Eular$','$fixed Eular$','$trapezoid$'),loc = 'lower right',title = 'legend')
plt.show()
os.system("pause")
对于欧拉法,它的叠代方法是:
改进欧拉法的叠代方法:
隐式梯形法:
对于不同的步长,其求解的精度也会有很大的不同,我先放一几张结果图:
希望对你有所帮助!
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