（一）ODE的一般形式

Ⅰ.常微分方程 (ODE)

常微分方程 (ODE) 包含与一个自变量 t（通常称为时间）相关的因变量 y 的一个或多个导数。此处用于表示 y 相对于 t 的导数的表示法对于一阶导数为 y′，对于二阶导数为 y′′，依此类推。

ODE 的阶数即y 在方程中出现的最高阶导数。

Ⅱ.ODE方程组

ODE的主要描述方式，用以对复杂系统进行表示，形如
$$\dot{y}=f(t,y)$$
其中，$y=(y_1,y_2,\dots ,y_n{)}^T$.
例如
$$\{\begin{array}{rl}{y}_1& =y_2\\ y_2& =y_1{y}_2-2\end{array}$$

Ⅲ.高阶ODE

高阶 ODE 可通过常规代换法重写为等效的一阶方程组
$$\begin{array}{rl}{y}_1& =\dot{y}\\ y_2& =\ddot{y}\\ & \dots \\ y_n& =y^{(n-1)}\end{array}$$
通过代换，我们可以得到一个新的方程组
$$\begin{array}{rl}{\dot{y}}_1& =y\\ {\dot{y}}_2& =\ddot{y}\\ & \dots \\ {\dot{y}}_n& =y^{(n-1)}\end{array}$$

Ⅳ.复数ODE

考虑复数 ODE 方程
$$\dot{y}=f(t,y),$$
其中$y=y_1+i{y}_2$。
为解算该方程，需要将实部和虚部分解为不同的解分量，最后重新组合相应的结果。从概念上讲，这类似于
$$\begin{array}{rl}{y}_v& =[Real(y),Imag(y)]\\ f_v& =[Real(f(t,y)),Imag(f(t,y))]\end{array}$$

（二）Matlab中的ODE

Ⅰ.Matlab中可求解的ODE

Matlab 中的 ODE 求解器可解算以下类型的一阶 ODE：

• 显式线性ODE：$\dot{y}=f(t,y)$；

• 线性隐式 ODE：$M(t,y)\dot{y}=f(t,y)$
  – M(t,y) 为非奇异质量矩阵，该质量矩阵可能为时间或状态相关的矩阵，也可能为常量矩阵。
  –线性隐式 ODE 可随时变换为显式形式

• 完全隐式 ODE：$f(t,y,\dot{y})=0$
  –该方程 不能重写为显式形式，还可能包含一些代数变量。
  –ode15i 求解器专为完全隐式问题（包括微分指数为 1 的 DAE）而设计。

• 微分代数方程或 DAE
  –DAE 方程组会包含一些代数变量。代数变量是导数未出现在方程中的因变量。可通过对方程求导来将 DAE 方程组重写为等效的一阶 ODE 方程组，以消除代数变量。将 DAE 重写为 ODE 所需的求导次数称为微分指数。
  –ode15s 和 ode23t 求解器可解算微分指数为 1 的 DAE。

Ⅱ.求解器的选择

ode45 适用于大多数 ODE 问题，一般情况下应作为首选求解器。但对于精度要求更宽松或更严格的问题而言，ode23 和 ode113 可能比 ode45 更加高效。
下表提供了关于何时使用每种不同求解器的一般指导原则。

求解器	问题类型	精度
ode45	非刚性	中
ode23	非刚性	低
ode113	非刚性	低到高
ode15s	刚性	低到中
ode23s	刚性	低
ode15i	完全隐式	低

Ⅲ.使用方法（以ode45为例）

A.语法

[t,y] = ode45(odefun,tspan,y0)
[t,y] = ode45(odefun,tspan,y0,options)
[t,y,te,ye,ie] = ode45(odefun,tspan,y0,options)
sol = ode45(___)
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B.参数说明
输出：

• t：返回的时间；
• y：返回的状态值， y 中的每一行都与列向量 t 中返回的值相对应；
• te：求解事件函数何处为零时，事件的时间。；
• ye：求解事件函数何处为零时，事件发生的解；
• ie：求解事件函数何处为零时，触发的事件的索引。

输入：

• odefun：给定的ode方程；
• tspan：求解的时间范围；
• y0：所求解的状态的初值；
• options：使用 odeset 函数创建的参数所定义的积分设置。例如，使用 AbsTol 和 RelTol 选项指定绝对误差容限和相对误差容限，或者使用 Mass 选项提供质量矩阵。

（三）ODE使用示例

Ⅰ.简单示例

解算ODE
$$\begin{array}{rl}\dot{y}& =2t\end{array}$$
使用时间区间 [0,5] 和初始条件 y0 = 0。

tspan = [0 5];
y0 = 0;
[t,y] = ode45(@(t,y) 2*t, tspan, y0);
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绘图。

plot(t,y,'-o')
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结果如下：

Ⅱ.复杂示例

Matlab有几个示例文件可用作大多数 ODE 问题的有用参考。要运行微分方程示例应用，以便轻松浏览和运行示例，请键入

odeexamples;
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要打开单独的示例文件进行编辑，请键入

edit exampleFileName.m
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要运行示例，请键入

exampleFileName
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多智能体系统相关几个实例

名称	求解器	说明
ballode	ode23	简单事件位置 - 弹球
batonode	ode45	短棒的位置移动
orbitode	ode45	高级事件位置 - 限制性三体问题

主要参考资料来源：
Mathworks官方帮助中心
求解器的选择：https://ww2.mathworks.cn/help/matlab/math/choose-an-ode-solver.html#bu22m6i-1**
ode45介绍：https://ww2.mathworks.cn/help/matlab/ref/ode45.html