DEA–SBM model

扩充知识–radial and non-radial

这里，我们先介绍一个知识，径向与非径向。这两个概念的区别只存在于投入与产出项，看它们是否能按一个比例进行放缩。如果能的话，这个模型便是径向的；反之，则是非径向的。

比如说，在第一章中所介绍的CCR模型，其模型可表示为（用基于输入向的包络型）：

可以看到x0是通过与theta进行乘积来实现压缩（theta小于等于0），这说明投入项可以按照一个比例进行乘积，因此CCR模型是径向模型。

CCR是径向模型，相似地，BCC模型也是径向的。

而在第三章学过的Additive model是非径向模型，它的投入与产出并没有按比例进行放缩：

而我们接下去要学习的SBM也是一个非径向（non-radial）模型。

SBM model

先放出SBM模型的公式：

模型解释1

1. 我们假设模型中的投入全部是非负，即X≥0。
2. 如果投入X出现零时，即X_i0=0，那么就删掉目标函数中的这一项值。
3. 至于出现y≤0时，就用一个很小的数去进行替换这一项值，以此来作为惩罚项。

（但是其实对于y的处理存在很大的争议，有些学者认为如果非正就用一个很小的数去代替的话，那么该用多小的数，并且不同程度的负值怎么体现等问题就紧接出现）

模型解释2

根据上述对模型变量的处理，还有所有松弛变量都是非负的，接下来对模型的目标函数进行解析：
根据约束条件，我们可以得到,从而分子部分。又分母部分一定是大于等于1的，这样就可以得出这个结论：。

变型

这一个部分与第一张CCR变型类似。都是将分母部分令为t:

重新设定变量：

这样就可以把一个分式模型变成一个线性模型：

对偶模型

这里对偶模型不再详细展开，直接放模型两种形式的公式：

SBM-efficiency

SBM模型有效，当且仅当目标函数ρ^*=1。其实也就是所有的松弛为零。

SBM projection

SBM的投影与加性模型一致，最重要的就是在等式中保留与λ相关的那一部分，其他的全部移向等式另一边：

那么此时这个新的是SBM有效的。

SBM 与CCR

因为本章节用的SBM模型是规模报酬不变的，因此与CCR进行比较（而不是BCC）。

我们从SBM模型出发，在其达到最优值时，对其约束条件向CCR模型转换：


此时重新规定松弛变量:

这一步，比起原SBM模型来说，多出了一个限制条件。那么在同是求目标函数最小值的情况下，限制条件越多越难取得更小的值。那么CCR模型的条件更多，SBM的更少，因此：

作者有话说

内心独白：我的排版真的好丑，一定要赶紧去学习latex，丑到受不了。先就这样吧，SBM内容可太多了，有空再来！写谱聚类作业去咯！！！