轨迹：机械臂的末端点或操作点的位置、速度、加速度对时间的历程
理想轨迹：smooth path，位置以及速度甚至加速度都连续的轨迹

1. Joint-space 下的轨迹规划

用图形描述上述过程：

总结起来就是：

由笛卡尔空间变换到关节空间，中间需要逆运动学求解，找出目标姿态对应的各个关节角度，然后轨迹规划，描绘出各个关节角度随时间的变动情况，最后用正向运动学求解一下，看看所求轨迹是否和理论轨迹相符，再检验一下轨迹的可行性。

2. Cartesian-space下的轨迹规划

第一步和 Joint space 时一样，因为第一步其实是和轨迹规划的部分是独立的，是对需求的描述。

3. 轨迹规划方法一：Cubic Polynomials(三次多项式)

• 每两个点之间用不同参数的函数来规划，找到函数把两个点串起来
• 任何两端相接的轨迹都要满足 smooth 的条件，也就是说每段函数头尾处的条件要定义清楚，所以一段函数、两个边界、四个条件。因此需要三次多项式来规划轨迹（因为三次多项式有4个参数可供我们选择）

3.1 解单段 Cubic polynomial

对于一条三次多项式曲线，包含a0、a1、a2、a3四个未知参数，使用 t‘ = t - t(i) 处理方法可以简约计算，结合四个边界条件，可以很快求得四个未知参数的值。

3.2 解多段 Cubic Polynomials

如果对于中间的一个 via point ，位置我们可能会已知，那么速度边界条件该如何定义呢？或者说如何选择速度条件呢？

以这两个方式，不同区段的 Cubic polynomials 可以分开求解。

求得两条三次多项式曲线，包含8个未知数，通过下图所示：四个位置边界条件、两个速度边界条件、一个速度连续条件、一个加速度连续条件总共8个条件，就可以求得这8个未知参数，从而确定两条三次多项式曲线。

3.3 推广到一般情况 General cubic spline function

这里设置成N+1是为了造成N条线段，每条线段有四个未知参数，所以总共有4N个参数需要求解，为此还需要找到4N个方程联立求解。

3.4 练习

3.4.1 以cubic polynomials 在 Cartesian-space 下规划轨迹

每个自由度包含三条三次多项式曲线，而每条曲线对应4个未知数，所以一个自由度要确定12个未知参数。
用矩阵解法，前六个是位置条件，第七第八个条件是一开始的速度和最后的速度，第九第十个条件是第一个 via point 的速度和加速度条件，倒数后两个是第二个 via point 的速度加速度条件。

3.4.2 以cubic polynomials 在 Joint-space 下规划轨迹

4. 位置、速度、加速度都需要规划的情况