1. 刚体的位姿描述

1.1 位置描述

与刚体固联的坐标系的原点用方向向量P来确定位置：

1.2 姿态描述

与刚体固联的坐标系三个坐标轴上的单位矢量相对于参考坐标系的方向余弦组成3*3的旋转矩阵用以表达刚体姿态：

将 {B} 三个坐标轴逐个投影到 {A} 的三个坐标轴，看它的分量是多少来确定 Rotation Matrix 三个列向量的数值。

例题1：

例题2：

2. 旋转矩阵

2.1 旋转矩阵性质

2.1.1 特性一

由于前后向量互换位置不改变结果：

所以 ：

{B}相对于{A}的旋转矩阵={A}相对于{B}的旋转矩阵的转置矩阵

2.1.2 特性二

旋转矩阵的转置矩阵×旋转矩阵=单位矩阵
我们知道，一个矩阵和自己的逆矩阵相乘时才会等于单位矩阵，所以：
旋转矩阵的转置矩阵=旋转矩阵的逆矩阵

2.1.3 特性三

旋转矩阵是正交矩阵：由于旋转矩阵的三个列向量都是单位矢量且两两垂直，相当于给了六个关系条件，所以旋转矩阵的9个元素中只有3个是独立的，这里展现了数学描述和物理中的对应。

2.2 Rotation Matrix 与旋转角

• 空间中的Rotation是3 DOFs，那要如何把一般rotation matrix 所表达的姿态，拆解成3次旋转角度以对应到3个DOFs ？
• 拆解成【三次旋转连乘】所需注意事项：
  1）多次旋转的先后顺序必须明确，因为旋转次序不同，旋转的最终姿态将不同
  2）旋转转轴要明确定义，旋转是针对谁而言的

2.2.1 针对Z轴旋转

2.2.2 针对X轴旋转

2.2.3 针对Y轴旋转

例题：

2.3 旋转矩阵的三种用途

• 描述一个 frame 相对于另一个 frame 的姿态
• 将 point 由某一个 frame 表达换到另一个和此 frame 仅有相对转动的 frame 来表达 - 将 point(vector)在同一个 frame 中进行转动
  

2.4 旋转的拆解方式

2.4.1 Fixed angles——对方向固定不动的转轴旋转

旋转过程：X→Y→Z
由 angles 推算 R：

数学描述：

注意这里！先转的要放在后面，是因为放在后面在相乘的时候才会被先操作到：

例题：

由 R 推算 angles：

例题：

2.4.2 Euler angles——对转动的frame当下所在的转轴方向旋转

例题：

例题：