写在前面

最近做极限的题目，很多都要用到泰勒展开（麦克劳林展开），然而一些结论总是记不住，于是在这里总结一些常见的函数的展开式及推导过程，希望可以帮到大家。

定义式

函数$f(x)$在点$x_0$处展开(皮亚诺Peano余项)
$$\begin{array}{rl}f(x)& =f(x_0)+\frac{f^{\prime }(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }(x_0{)}^2}{2!}(x-x_0{)}^2+\cdots \\ & =\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0{)}^k+o((x-x_0{)}^n)\end{array}$$

麦克劳林展开

下面为方便表示，都使用麦克劳林级数的形式（需要注意这样写要满足幂级数收敛条件即$-1<x<1$）。

1. 指数函数的展开（利用定义式即可得到，并注意到$({\mathrm{e}}^x{)}^{\prime }={\mathrm{e}}^x$）：
   $${\mathrm{e}}^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }\frac{x^k}{k!}$$

2. 最基本的一个幂级数（由等比数列求和公式取极限得到）：
   $$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{x}^k$$
   同理可得到
   $$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }(-1{)}^k{x}^k$$

3. 对数函数的展开：
   $$\begin{array}{rl}\ln (1+x)& =\int \frac{1}{1+x}\mathrm{d}x=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^k}{k+1}{x}^{k+1}\\ & =x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots \end{array}$$

4. 三角函数的展开，利用定义即可得到（注意到正弦函数的偶阶导仍为正弦，所以其在原点处的值均为$0$）：
   $$\sin (x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)!}$$
   上式求导即可得到：
   $$\cos (x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{(2n)!}$$
   正切函数的展开式推导比较复杂，这里只列出前三项：
   $$\tan (x)=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2}{15}{x}^5+\cdots$$

5. 二项式的展开：

   这个展开式比较复杂，但也是比较重要的（极限的计算、组合数学常用），因为这个就是牛顿广义二项式定理（其中对组合数进行了推广）。推导过程可以从幂级数的高阶导数入手，归纳即可得到下面的式子。

   $$\begin{array}{rl}(y+x{)}^{\alpha }& =\sum _{k=0}^{\infty }\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k}\right)y^{\alpha -k}{x}^k\\ & =\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(\alpha {)}_k}{k!}{y}^{\alpha -k}{x}^k\\ & =\sum _{k=0}^{\infty }\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -k+1)}{k!}{y}^{\alpha -k}{x}^k\end{array}$$
   其中$\alpha \in \mathbb{R}$, $(\alpha {)}_k$代表$k$次下阶乘。

   上式中常取$y=1$，这时就有下面几个常用结论(主要推导过程需要借助牛顿二项式定理)：

   1. $$\begin{array}{rl}\sqrt{1+bx}& =1+\frac{b}{2}x-\frac{b^2}{8}{x}^2+\frac{b^3}{16}{x}^3-\cdots \\ & =1+\frac{b}{2}x+\sum _{k=2}^{\infty }(-1{)}^{k-1}\frac{(2k-3)!!}{(2k)!!}{b}^k{x}^k\end{array}$$

   2. $$\begin{array}{rl}\sqrt{1-bx}& =1-\frac{b}{2}x-\frac{b^2}{8}{x}^2-\frac{b^3}{16}{x}^3-\frac{5b^4}{128}{x}^4-\cdots \\ & =1-\frac{b}{2}x-\sum _{k=2}^{\infty }\frac{(2k-3)!!}{(2k)!!}{b}^k{x}^k\end{array}$$

   3. $$\begin{array}{rl}\frac{1}{\sqrt{1+bx}}& =1-\frac{b}{2}x+\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}{b}^2{x}^2-\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}{b}^3{x}^3+\cdots \\ & =1+\sum _{k=1}^{\infty }(-1{)}^k\frac{(2k-1)!!}{(2k)!!}{b}^k{x}^k\end{array}$$

   4. $$\begin{array}{rl}\frac{1}{\sqrt{1-bx}}& =1+\frac{b}{2}x+\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}{b}^2{x}^2+\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}{b}^3{x}^3+\cdots \\ & =1+\sum _{k=1}^{\infty }\frac{(2k-1)!!}{(2k)!!}{b}^k{x}^k\end{array}$$

   5. $$\begin{array}{rl}\frac{1}{(1+x{)}^2}& ={\left(-\frac{1}{1+x}\right)}^{\prime }={\left(\sum _{k=0}^{\infty }(-1{)}^{k+1}{x}^k\right)}^{\prime }\\ & =\sum _{k=1}^{\infty }(-1{)}^{k+1}k{x}^{k-1}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1{)}^k(k+1)x^k\end{array}$$

6. 反三角函数的展开式，可以由幂级数展开式积分直接得到。

   • $y=\arctan (x)$：根据$y^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1{)}^k{x}^{2k}$，得到
     $$\arctan x=\sum _{k=0}^{\infty }(-1{)}^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\cdots$$

   • $y=\arcsin (x)$：根据$y^{\prime }=(1-x^2{)}^{-\frac{1}{2}}$，使用上面的二项式定理可得到
     $$\begin{array}{rl}\arcsin x& =x+\sum _{k=1}^{\infty }\frac{(2k-1)!!}{(2k)!!(2k+1)}{x}^{2k+1}\\ & =x+\frac{x^3}{6}+\frac{3}{40}{x}^5+\frac{5}{112}{x}^7+\cdots \end{array}$$

   • $y=\arccos (x)$: 由于其导数与$\arcsin (x)$的导数互为相反数. 所以展开式也可以由上式前面整体添负号然后积分得到, 或者直接应用二者的关系式:
     $$\arccos x=\frac{\pi }{2}-\arcsin x,$$

     得到:
     $$\begin{array}{rl}\arccos x& =\frac{\pi }{2}-x-\sum _{k=1}^{\infty }\frac{(2k-1)!!}{(2k)!!(2k+1)}{x}^{2k+1}\\ & =\frac{\pi }{2}-x-\frac{x^3}{6}-\frac{3}{40}{x}^5-\frac{5}{112}{x}^7-\cdots \end{array}$$

   注意, 上面反余弦函数的展开式, 如果直接用不定积分会出现问题, 在积分之后会出现一个常数, 这个常数可以通过代入一个值, 如$x=0$, 得到的常数$C$就是上述关系式中的$\frac{\pi }{2}$.

等价无穷小代换

根据上面的推导，很容易得到几个常见的等价无穷小替换。

1. $x\sim \sin x\sim \tan x\sim \arcsin x\sim \arctan x\sim ({\mathrm{e}}^x-1)\sim \ln (1+x)$;

2. $(1-\cos x)\sim \frac{x^2}{2}$;

3. $★(1+bx{)}^{\alpha }-1\sim \alpha bx$;

4. $(x-\sin x)\sim \frac{1}{6}{x}^3\sim (\arcsin x-x)$;

5. $(\tan x-x)\sim \frac{1}{3}{x}^3\sim (x-\arctan x)$;

6. $(\tan x-\sin x)\sim \frac{1}{2}{x}^3$;