1 浮点数的一般表示

$J_f$	$J_1{J}_2\dots J_m$	$S_f$	$S_1{S}_2\dots S_n$
阶符	阶码	数符	尾数

阶码的位数决定了浮点数的表示范围的大小，尾数的位数决定了浮点数的表示精度

• 阶符：阶码的符号位。1为负；0为正
• 阶码：即幂的大小。设幂$e=(J_1{J}_2\dots J_m{)}_2$
• 数符：尾数的符号位。1为负；0为正
• 尾数：尾数的大小。设尾数$M=(S_1{S}_2\dots S_n{)}_2$

一般基数$r=2$，则浮点数真值$N=(-1{)}^{J_f}\ast r^e\ast (-1{)}^{S_f}\ast M$

2 IEEE 754标准的浮点数

2.1 浮点数的格式

$m_s$	$E$	$M$
数符	阶码，用移码表示	尾数，用原码表示

类型	数符	阶码	尾数	总位数	阶码偏置值（十进制）	指数范围(真值表示)	指数范围(移码表示)
短浮点数	1	8	23	32	127	[-126，+127]	[+1，+254]
长浮点数	1	11	52	64	1023	[-1022，+1023]	[+1，+2046]
临时浮点数	1	15	64	80	16383	[-16382，+16383]	[+1，+32766]

从上表可以看出，IEEE 754标准的浮点数有短浮点数（单精度、float型）、长浮点数（双精度、double型）、临时浮点数三种，且数据由三部分组成：

• 数符：尾数的符号位。1表示负；0表示正
• 阶码：表示数的幂，基为2，用移码表示
• 尾数：表示数的小数部分，基为2，用原码表示。且隐藏了一位1，这样是为了多表示一位有效位（临时浮点数无隐含的1）

因此可知，一个IEEE 754标准的浮点数的值为$N=(-1{)}^{m_s}\ast 2^E\ast (1.M{)}_2$

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两点说明

1、关于阶码

1.1、为什么用移码表示
补码不能直观的表示数据的大小，比如一个8位的数据：用补码表示$(-1{)}_{10}=(11111111{)}_2=FFH，(8{)}_{10}=(00001000{)}_2=08H$，8是大于-1的，但是补码的话 FFH > 08H，这与实际结果正好相反；而移码通过加上一个偏置值（若数据为 n 位，则通常取偏置值为$2^{n-1}$，将符号位取反即可），能够反映数据之间的实际大小关系，移码表示$(-1{)}_{10}=(01111111{)}_2=7FH，(8{)}_{10}=(10001000{)}_2=88H$，88H > 7FH，这与预期结果相符合

1.2、阶码的偏置值
阶码部分用移码表示，假设阶码为 n 位，则规定阶码偏置值取 $2^{n-1}-1$，因此短浮点数、长浮点数、临时浮点数阶码偏置值为$2^{8-1}-1=127、2^{11-1}-1=1023、2^{15-1}-1=16383$。移码偏置值不是$2^{n-1}$吗，这里为什么取 $2^{n-1}-1$，因为阶码全1是用来表示特殊用途的数，1.3条有详细解释，不理解的话直接将这当作一个规定记住即可

1.3、阶码的取值范围
假设阶码为 n 位，则可表示的范围为 $0到2^n-1$，，因此短浮点数、长浮点数的阶码取值范围为 0到255、0到2047。又因为当阶码全0、阶码全1时有特殊用途，所以阶码E的实际取值范围为 1到254、1到2046、1到32766（去掉阶码全0和全1）。当阶码E为全0或全1时，要综合考虑尾数M的值，它们用来表示一些特殊的数：

• 0：当E全0，M为0时用来表示0值，至于是+0/-0，则取决于符号位是0还是1。
• subnormal：当E全0，M非0时，用来表示subnormal（中文译为非规则浮点数）。它表示那些比规格化浮点数能表示的最小量级的数还小的数，例如短浮点格式的一个数$1.11\ast 2^{-128}$，这已经超出了规格化形式能表示的范围，如果变成subnormal的话就是$0.0111\ast 2^{-126}$，前面说到，规格化浮点数的隐含位为1，而subnormals的隐含位可以看成0，这就是非规格化的含义所在。并且subnormals的尾数部分有若干前导0组成，因为它已经超出了规格化形式的范围，一个数越小，它的前导0越多，否则指数部分就不符合要求。
• 无穷大：当E全1，M为0时表示无穷大，至于是$+\infty /-\infty$，则取决于符号位是0还是1。
• NaN(Not a Number)：当E全1，M非0时，表示NaN。在IEEE浮点数格式中，NaN表示那些不是实数（real number）的值，例如$\frac{0}{0}$。具体细分，有两类NaN，quiet NaNs（QNaNs）和signaling NaNs（SNaNs），QNaNs表示一个不确定的值，例如一个数除以无穷大或者无穷大乘0的结果；SNaNs则用于无效的操作，以表示浮点硬件异常。

1.4、阶码的实际大小
阶码采用移码的形式表示，阶码的实际大小需要减去对应的偏置值，通过这种方式来表示阶码的正负值。所以短浮点数、长浮点数的阶码实际大小为 $E-偏置值$，即 $1-127=-126到254-127=127、1-1023=-1022到2046-1023=1023$

2、关于尾数

假设尾数位数为 m 位，因为尾数部分隐含了一位整数1，所以尾数的实际位数为 m+1 位，因此短浮点数、长浮点数尾数实际有效位数为24、53，真值为 $1.M$，故：

短浮点数的真值为
$$(-1{)}^{m_s}\ast (1.M)\ast 2^{E-127}$$
长浮点数的真值为
$$(-1{)}^{m_s}\ast (1.M)\ast 2^{E-1023}$$

2.2 浮点数的取值范围

以短浮点正数为例：

当阶码和尾数都取最小时（E为0000 0001，M为0），表示的数值最小，阶码部分为 $1-127=-126$，尾数部分为 隐含的1加上其余的23位0；

当阶码和尾数都取最大时（E为1111 11110，M全1），表示的数值最大，阶码部分为 $254-127=127$，尾数部分为 隐含的1加上其余的23位1；

所以取值范围为 $1.0\times 2^{-126}$到$\begin{array}{c}24个1\\ \overbrace{1.11\dots 1}\times 2^{127}\end{array}$，即

格式	正数	负数
单精度	$2^{-126}到(2-2^{-23})\times 2^{127}$	$-2^{-126}到-(2-2^{-23})\times 2^{127}$
双精度	$2^{-1022}到(2-2^{-52})\times 2^{1023}$	$-2^{-1022}到-(2-2^{-52})\times 2^{1023}$

2.3 类型转换时的精度损失和溢出

这里以C语言为例。C语言中的float、double型分别对应IEEE 754标准的单精度和双精度浮点数，一个int型数据占4个字节、float占4字节、double占8字节。

1 溢出

• 当float、double向int转换时可能会发生溢出，比如有符号int型表示的数据范围为 $2^{-31}到2^{31}-1$，而float、double类型的数据的表示范围超过了int类型
• 当double向float、int转换时可能会发生溢出、float向int转换时也可能会溢出

2.精度损失

• 当int向float转换时可能会产生精度损失，因为int类型共四字节32位，而float尾数的有效位数为24位（包括隐含的1），当int型数据的有效位数超过24的话就会发生精度损失。比如
  $$\begin{gathered} unsignedintm=FFFFFFFFH \\ 即（2-2^{-31})\times 2^{31} \end{gathered}$$
  因为 m 的二进制表示为32位1，超过了float的24位，超出的1会被舍掉，所以就会产生精度损失。
• 当double向float、int转换时可能会有精度损失，因为double类型尾数的有效位数位53，超过了float的24；而且浮点数向整数转换时，若是小数部分不为0，一定会有精度损失，因为整数没有小数部分

例: 将十进制小数转换成IEEE 754标准的浮点数

例：现有一个十进制小数43.875，请将其转换成IEEE 754类型的短浮点数（即float类型），并将最终结果用二进制或十六进制表示。

分析：
IEEE 754标准的短浮点数要符合如下几个标准

1. 阶码用移码表示，占8位。其值为阶码真值加偏置值127
2. 尾数用原码表示，占23位。另有一位隐含的整数1
3. 最高位为数符，占1位。0表示正数、1表示负数

解答：
第一步 将十进制小数转换成二进制表示
一定要转换成 1.M 的形式，其中 M 为尾数，$(43.875{)}_{10}=(101011.111{)}_2=(1.01011111)\times 2^5$

第二步 求出数符、阶码、尾数的二进制表示
由题意知：数符 $m_s=0$
由第一步知：阶码 $E=5=(101{)}_2$，尾数$M=(01011111{)}_2$
因此：

• 1位数符为 0
• 8位阶码为（移码表示）$5+127=132=(10000100{)}_2$
• 23位尾数为（原码表示）$(01011111000000000000000{)}_2$

第三步 整理结果

数符	阶码	尾数
0	1000 0100	010 1111 1000 0000 0000 0000
即 $43.875=01000010001011111000000000000000=422F8000H$

public class Main {

    public static void main(String[] args) {
        float f = 43.875f;
        // 输出浮点数的 二进制表示
        System.out.println(Integer.toBinaryString(Float.floatToIntBits(f)));
        // 输出浮点数的 十六进制表示♑
        System.out.println(Integer.toHexString(Float.floatToIntBits(f)));
    }
}