什么是双线性映射(Bilinear Mapping )?
在数论中,一个双线性映射是由两个向量空间上的元素,生成第三个向量空间上一个元素之函数,并且该函数对每个参数都是线性的。最简单的例子:xy→z,x,y∈Rxy \to z, x,y \in Rxy→z,x,y∈R1. 双线性映射设 V,WV,WV,W 和 XXX 是在同一个基础域F上的三个向量空间。双线性映射是函数:B:V×W→XB:V \times W\to XB:V×W→X使得对于任何 WWW
在数论中,一个双线性映射是由两个向量空间上的元素,生成第三个向量空间上一个元素之函数,并且该函数对每个参数都是线性的。最简单的例子:
x
y
→
z
,
x
,
y
∈
R
xy \to z, x,y \in R
xy→z,x,y∈R
1. 双线性映射
设
V
,
W
V,W
V,W 和
X
X
X 是在同一个基础域F上的三个向量空间。双线性映射是函数:
B
:
V
×
W
→
X
B:V \times W\to X
B:V×W→X
使得对于任何
W
W
W 中
w
w
w,映射
v
↦
B
(
v
,
w
)
v\mapsto B(v,w )
v↦B(v,w )
是从
V
V
V 到
X
X
X 的线性映射,并且对于任何
V
V
V 中的
v
v
v,映射
w
↦
B
(
v
,
w
)
w\mapsto B(v,w )
w↦B(v,w )
是从 W W W 到 X X X 的线性映射。
换句话说,如果保持双线性映射的第一个参数固定,并留下第二个参数可变,结果的是线性算子,如果保持第二个参数固定也是类似的。
2. 对称双线性映射
如果 V = W V=W V=W 并且有 B ( v , w ) = B ( w , v ) B(v,w )=B(w,v ) B(v,w )=B(w,v ) 对于所有 V V V 中的 v , w v,w v,w,则我们称 B B B 是对称的。
3. 双线性形式
当这里的 X X X 是 F F F 的时候,我们称之为双线性形式,它特别有用(参见例子标量积、内积和二次形式)。
4. 多线性
如果使用在交换环R上的模替代向量空间,定义不需要任何改变。还可容易的推广到 n n n 元函数,这里正确的术语是“多线性”。
对非交换基础环
R
R
R 和右模
M
R
M_R
MR与左模
R
N
_RN
RN的情况,我们可以定义双线性映射
B
:
M
×
N
→
T
B:M\times N\to T
B:M×N→T,这里的
T
T
T 是阿贝尔环,使得对于任何
N
N
N 中的
n
n
n,
m
↦
B
(
m
,
n
)
m \mapsto B(m,n)
m↦B(m,n) 是群同态,而对于任何
M
M
M 中的
m
m
m,
n
↦
B
(
m
,
n
)
n \mapsto B(m,n)
n↦B(m,n) 是群同态,并还满足
B
(
m
t
,
n
)
=
B
(
m
,
t
n
)
B(mt,n ) =B(m,tn )
B(mt,n )=B(m,tn )
对于所有的 M M M 中的 m m m, N N N中 n n n 和 R R R 中的 t t t。
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