离线信号是指在时间上是离散的，即只在某些不连续的规定时刻给出信号的瞬时值，而在其它时刻无意义的信号。连续时间信号的采样是离散信号产生的方法之一，而计算机技术的发展以及数字技术的广泛应用是离散信号分析、处理理论和方法迅速发展的动力。

离散信号的时域描述和分析

1. 信号的采样和恢复

理想化的采样过程是一个将连续信号进行脉冲调制的过程，即$x_s(t)$表示为连续信号$x(t)$与周期性冲激串${\delta }_T(t)={\sum }_{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-n{T}_n)$的乘积：
$$x_s(t)=x(t){\delta }_T(t)=x(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-n{T}_s)=\sum _{-\infty }^{\infty }x(n{T}_s)\delta (t-n{T}_s)$$
$x_s(t)$是经过采样处理后时间上离散化而幅值上仍然连续变化的信号，必须经过幅值上量化、编码处理等离散取值后才能成为数字信号。

一个连续信号离散化后，有两个问题需要讨论：（1）采样得到的信号$x_s(t)$在频域上有什么特性，它与原连续信号$x(t)$的频域特性有什么联系？（2）连续信号采样后，它是否保留了原信号的全部信息，或者说，从采样的信号$x_s(t)$能否无失真地恢复原连续信号$x(t)$?

设连续信号$x(t)$的傅里叶变换为$X(w)$，采样后离散信号$x_s(t)$的傅里叶变换为$X_s(w)$，已知周期性冲激串${\delta }_T(t)$的傅里叶变换为$P(w)=w_s{\sum }_{n=-\infty }^{\infty }\delta (w-n{w}_s)$，由傅里叶变换的频域卷积定理，有
$$X_s(w)=\frac{1}{2\pi }X(w)\ast P(w)$$
将$P(w)$代入上式，并按卷积运算的性质化简后得到抽样信号$x_s(t)$的傅里叶变换为
$$X_s(w)=\frac{1}{T_s}\sum _{n=-\infty }^{\infty }X(w-n{w}_s)\text{\hspace{1em}(1)}$$
式（1）表明，一个连续信号经理想采样后频谱发生了两个变化：

1）频谱发生了周期延拓，即将原连续信号的频谱$X(w)$分别延拓到以$\pm w_s,\pm 2w_s,\dots$为中心的频谱，其中$w_s$为采样角频率。

2）频谱的幅度乘上了一个$1/T_s$因子，其中$T_s$为采样周期。

2. 时域采样定理

对于频谱函数只在有限区间$(-w_m,w_m)$为有限值的频谱受限信号$x(t)$，为了将它的抽样信号$x_s(t)$恢复为原连续信号，只要对抽样信号施以截止频率为$w\ge w_m$的理想低通滤波，这时在频域上得到与$x(t)$的频谱$X(w)$完全一样的频谱（幅度的变化很容易实现）。对应地，在时域上也就完全恢复了原连续信号$x(t)$。从图中可以看出，上述连续信号恢复过程是在$w_s\ge w_m$的前提下实现的，也即采样频率至少为原连续信号所含最高频率成分的2倍时实现的。这时，就能够无失真地从抽样信号中恢复原连续信号，或者说，采样过程完全保留了原信号的全部信息。

当$w_s<2w_m$时，在频域就会出现频谱混叠现象。施以理想低通滤波后不能得到与$X(w)$完全一样的频谱。可以想象，在时域也就不能无失真地恢复原连续信号$x(t)$。

由此，得出关于采样频率如何取的结论，这就是著名的时域采样定理（香农定理）：

对于频谱受限的信号$x(t)$，如果其最高频率分量为$w_m$，为了保留原信号的全部信息，或能无失真地恢复原信号，在通过采样得到离散信号时，其采样频率应满足$w_s\ge 2w_m$。通常把最低允许的采样频率$w_s=2w_m$称为奈奎斯特（Nyquist）频率。

为了从抽样信号$x_s(t)$中恢复原信号$x(t)$，可将抽样信号的频谱$X_s(w)$乘上幅度为$T_s$的矩形窗信号
$$G(w)=\{\begin{array}{ll}{T}_s& |w|\le w_s/2\\ 0& |w|>w_s/2\end{array}$$
它将原信号的频谱$X(w)$从$X_s(w)$中完整地提取出来，即
$$X(w)=X_s(w)G(w)$$
根据傅里叶时域卷积性质，有
$$x(t)=x_s(t)\ast g(t)$$
而从表2-2可知
$$g(t)=Sa(\frac{w_s}{2}t)$$
所以求得
$$x(t)=\sum _{n-\infty }^{\infty }x(n{T}_s)\delta (t-n{T}_s)\ast Sa(\frac{w_s}{2}t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n{T}_s)Sa(\frac{w_s}{2}(t-n{T}_s))$$
如果正好取$w_m=\frac{1}{2}{w}_s$，则有
$$x(t)=\sum _{-\infty }^{\infty }x(n{T}_s)Sa[w_m(t-n{T}_s)]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n{T}_s)\frac{sin{w}_m(t-n{T}_s)}{w_m(t-n{T}_s)}\text{\hspace{1em}(2)}$$
上式说明，如果知道连续时间信号的最高角频率$w_m$，则在采样频率$w_s\ge 2w_m$的条件下，把各抽样样本值$x(n{T}_s)$代入式（2），就能无失真地求得原信号$x(t)$。原信号的恢复过程可用下图表示。

由于$x(nT)Sa[w_m(t-n{T}_s)]$是一个以nT为中心呈偶对称的衰减正弦函数，除中心点为峰值外，还具有等间隔的过零点，可以求得，该间隔正好是采样间隔$T_s$，因此在某一采样时刻（例如$t=3T_s$），除了取峰值为1的$Sa[w_m(t-nT)]$（例如n=3）外，其它各$Sa[w_m(t-nT)]$（例如$n\ne 3$）均为零，所以有$x(t)=x(n{T}_s)$（例如n=3），即每个采样时刻能给出准确的$x(t)$值，而非采样时刻，式（2）中的各项均不为零，样本点之间任意时刻的$x(t)$由无限项的和决定，所以通常把式（2）称为恢复连续时间信号的内插公式。

时域采样定理表明，为了保留原连续信号某一频率分量的全部信息，至少对该频率分量一个周期采样两次。由此可以理解为对于快变信号要提高采样频率，但是并不能认为采样频率越高越好，采样频率过大，一方面会增加计算机内存的占用量，另一方面还会造成采样过程不稳定。

对于不是带限的信号，或者频谱在高频段衰减较慢的信号，可以根据实际的情况采用抗混叠滤波器来解决。即在采样前，用一截止频率为$w_c$的低通滤波器对信号$x(t)$进行抗混叠滤波，将不需要的或不重要的高频成分去除，然后再进行采样和数据处理。

3. 频域采样定理

与时域采样定理相对应，对于一个具有连续频谱的信号，如果在频域进行采样，也存在一个是否能准确地恢复原信号连续频谱的问题。先考虑原时域信号$x(t)$的频谱为$X(w)$，即
$$x(t)\stackrel{F}{\leftrightarrow }X(w)$$
对$X(w)$在频域的采样，同样可视为一个将$X(w)$进行频域冲激串调制的过程，即
$$X_p(w)=X(w)P(w)\text{\hspace{1em}(1)}$$
其中$p(w)={\sum }_{k=-\infty }^{\infty }\delta (w-k{w}_0)$，是采样间隔为$w_0=\frac{2\pi }{T_0}$的频域单位冲激串，它所对应的时域信号为
$$p(t)=\frac{1}{w_0}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (t-k{T}_0)$$
由傅里叶变换的时域卷积性质，式（1）对应的时域形式为
$$x_p(t)=x(t)\ast \frac{1}{w_0}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (t-k{T}_0)=\frac{1}{w_0}\sum _{k=-\infty }^{\infty }x(t-k{T}_0)\text{\hspace{1em}(2)}$$
上式的推导用到任意函数与冲激函数卷积的式子：$x(t)\ast \delta (t-t_0)=x(t-t_0)$。式（2）表明当信号频谱$X(w)$以$w_0$的采样间隔进行采样，它对应的时域信号$x_p(t)$是以$T_0$为周期对原信号$x(t)$进行周期延拓，当然信号的幅度要乘上$\frac{1}{w_0}$的因子，如下图所示。这一结论与时域信号的采样完全形成对偶关系。

$$x(t)=\{\begin{array}{ll}x(t)& |t|\le t_m\\ 0& |t|>t_m\end{array}$$
只有当$T_0\ge 2t_m$或$w_0\le \frac{2\pi }{t_m}$时，$x_p(t)$不会发生波形混叠，有可能从$x_p(t)$中不失真地截取出原信号$x(t)$，相当于在频域从采样的$X_p(w)$中准确地恢复原信号的连续频谱$X(w)$。因此，可以归结出频域采样定理：

对于一个长度为$2t_m$的时限信号，为了能够从频域样本集合完全恢复原信号的频谱，其频域的采样间隔必须满足$w_0\le \frac{\pi }{t_m}$。

与连续时间信号的恢复类似，为了恢复原信号$x(t)$的连续频谱$X(w)$，可以将其周期延拓的信号$x_p(t)$乘上时域窗函数$g(t)$
$$g(t)=\{\begin{array}{ll}{w}_0& |t|\le \frac{T_0}{2}\\ 0& |t|>\frac{T_0}{2}\end{array}$$
它将原信号$x(t)$从$x_p(t)$中完整地提取出来，即
$$x(t)=x_p(t)g(t)$$
根据傅里叶频域卷积性质，有
$$X(w)=\frac{1}{2\pi }{X}_p(w)\ast G(w)$$
式中，$X_p(w)=X(w){\sum }_{k=-\infty }^{\infty }\delta (w-k{w}_0)={\sum }_{k=-\infty }^{\infty }X(k{w}_0)\delta (w-k{w}_0)$。又因为
$$G(w)=2\pi Sa(\frac{w{T}_0}{2})$$
所以得
$$\begin{gathered} X(w)=\frac{1}{2\pi }[\sum _{k=-\infty }^{\infty }X(k{w}_0)\delta (w-k{w}_0)]\ast [2\pi Sa(\frac{w{T}_0}{2})] \\ =\sum _{k=-\infty }^{\infty }X(k{w}_0)Sa[\frac{T_0}{2}(w-k{w}_0)] \end{gathered}$$
这就是频域内插公式，如果正好取$t_m=\frac{T_0}{2}$，则有
$$X(w)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }X(k{w}_0)Sa[t_m(w-k{w}_0)]=\sum _{-\infty }^{\infty }X(k{w}_0)\frac{sin{t}_m(w-k{w}_0)}{t_m(w-k{w}_0)}$$
频域内插公式表明：在频域中，每个采样样本能给出准确的$X(w)$值，而非样本值的$X(w)$由无限项之和决定的。

从时域采样及其内插恢复和频域采样及其内插恢复，我们可得出时域和频域的一个重要对应关系：频域的带限信号在时域是非时限的，时域的时限信号在频域是非带限的。