信号的相关分析

在信号的分析中，有时需要对两个以上信号的相互关系进行研究。例如在通信系统、雷达系统，甚至控制系统中，发送端发出的信号波形是已知的，在接收端信号（或回拨信号）中，也必须判断是否存在由发送端发出的信号。困难在于接受端信号中即使包含了发送端发出的信号，也往往因各种原因产生了畸变。一个很自然的想法是用已知的发送波形去与畸变了的接受波形相比较，利用它们的相似或相依性作出判断，这就需要首先解决信号之间的相似或相依性的度量问题，这正是相关分析要解决的问题。

一、相关系数

参考信号的正交分解叙述，当用另一个信号$y(t)$去近似一个信号$x(t)$时，$x(t)$可表示为
$$x(t)=a_{xy}y(t)+x_e(t)$$
式中，$a_{xy}$为实系数；$x_e(t)$为近似误差信号。对于能量型信号$x(t)、y(t)$，可得这种近似的误差信号能量为
$$ϵ={\int }_{-\infty }^{\infty }{x}_e^2(t)dt={\int }_{-\infty }^{\infty }[x(t)-a_{xy}y(t){]}^{2}dt\text{\hspace{1em}(1)}$$
为求得使误差信号能量最小的$a_{xy}$值，必须使
∂ ϵ ∂ a x y = ∂ ∂ a x y { ∫ − ∞ ∞ [ x ( t ) − a x y y ( t ) ] 2 } d t = 0 \frac{\partial \epsilon}{\partial a_{xy}}=\frac{\partial}{\partial a_{xy}}\{\int_{-\infty}^{\infty}[x(t)-a_{xy}y(t)]^2\}dt=0 ∂axy​∂ϵ​=∂axy​∂​{∫−∞∞​[x(t)−axy​y(t)]2}dt=0
由此可求得用$y(t)$表示的$x(t)$的最佳系数$a_{xy}$,即
$$a_{xy}=\frac{{\int }_{\infty }^{\infty }x(t)y(t)dt}{{\int }_{-\infty }^{\infty }{y}^2(t)dt}$$
将其代入式（1），得到这种近似的最小误差信号分能量值为
$${ϵ}_{min}={\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^2(t)dt-\frac{[{\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)y(t)dt{]}^2}{{\int }_{-\infty }^{\infty }{y}^2(t)dt}$$
式中右边第一项表示了原信号$x(t)$的能量。如将上式用原信号能量归一化为相对误差，则有
$${\overline{ϵ}}_{min}=\frac{{ϵ}_{min}}{{\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^2(t)dt}=1-\frac{[{\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)y(t)dt{]}^2}{{\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^2(t)dt{\int }_{-\infty }^{\infty }{y}^2(t)dt}$$
令
$${\rho }_{xy}=\frac{{\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)y(t)dt}{\sqrt{{\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^2(t)dt}\sqrt{{\int }_{-\infty }^{\infty }{y}^2(t)dt}}\text{\hspace{1em}(2)}$$
则相对误差可写为
$${\overline{ϵ}}_{min}=\frac{{ϵ}_{min}}{{\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^2(t)dt}=1-{\rho }_{xy}^2$$

通常把${\rho }_{xy}$称为信号$y(t)$与$x(t)$的相关系数，在$x(t)$和$y(t)$都是是信号的情况下，${\rho }_{xy}$为一实数；此外，根据积分的施瓦兹不等式
$$|{\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)y(t)dt{|}^2\le {\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^2(t)dt{\int }_{\infty }^{\infty }{y}^2(t)dt$$
不难证明有
$$|{\rho }_{xy}|\le 1$$
相关系数${\rho }_{xy}$可以用来描述两个信号波形的相似或相依程度。当$x(t)=a_{xy}y(t)$，且$a_{xy}>0$时，表示信号$x(t)$和$y(t)$的波形相同，仅有幅度上的放大或缩小，这时由式（2）可求得${\rho }_{xy}=1$；当$x(t)=a_{xy}y(t)$，且$a_{xy}<0$时，表示两个信号波形相同，极性相反，幅度上也有放缩，这时由式（2）可求得${\rho }_{xy}=-1$。这就是说，$|{\rho }_{xy}=1|$表明了两个信号的波形是相同的，一个信号$x(t)$可以用另一个信号$y(t)$乘以一个非零实数来表示，这种表示的相对误差${\overline{ϵ}}_{min}$为0，表明这种表示时精确的。两个信号间的这种关系可以认为它们是完全线性相关的。相反，若相关系数${\rho }_{xy}=0$，它等价于式（4）的分子项为0，即${\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)y(t)dt=0$，表明信号$x(t)$和$y(t)$在$(-\infty ,\infty )$区间上相互正交，用一个信号$y(t)$表示另一个信号$x(t)$的相对误差${\overline{ϵ}}_{min}$为$100\%$，或者说，两个信号的波形毫无相似之处，无法用一个信号去近似表示另一个信号，也可以说两个信号是线性无关的。一般情况下，$0<|{\rho }_{xy}|<1$，这时，既不能用一个信号精确地表示另一个信号，也不相互正交，而可以用一个信号近似地表示另一个信号，其近似程度就用$|{\rho }_{xy}|$来描述，$|{\rho }_{xy}|$越接近于1，表示近似程度愈高，近似误差愈小，反之，$|{\rho }_{xy}|$越接近于0，表示近似误差愈大。

以上描述是针对能量型信号的，对于功率型信号，相关系数应为
$${\rho }_{xy}=\frac{li{m}_{T\to \infty }\frac{1}{2T}{\int }_{-T}^{T}x(t)y(t)dt}{\sqrt{li{m}_{T\to \infty }\frac{1}{2T}{\int }_{-T}^T{x}^2(t)dt}\sqrt{li{m}_{T\to \infty }\frac{1}{2T}{\int }_{-T}^T{y}^2(t)dt}}\text{\hspace{1em}(3)}$$
这时描述信号近似的量实际上成了均方误差。对于周期为$2T$的周期信号$x(t)、y(t)$,式（3）中的极限符号可以去掉。

两个实信号的相关系数及其特性可推广到一般的复信号，此时$a_{xy}$和相关系数${\rho }_{xy}$应为复数。

二、相关函数

相关系数${\rho }_{xy}$定量地描述了两个信号$x(t)$和$y(t)$之间的相似或相依关系，但它有很大的局限性。一个典型的例子如下图所示，图中$y(t)=x(t-T)$，它是持续时间为T的信号$x(t)$延时了T的结果，从波形看，两个信号有最紧密的关系，因为它们的波形是完全一致的，但是如果按照式（2）来求它们的相关系数，则有${\rho }_{xy}=0$，因此，用${\rho }_{xy}$来描述两个信号相似性，显然有其局限性或不合理性，问题出在相关系数${\rho }_{xy}=0$仅仅描述了在时间轴上两个固定信号的相关特性。为了表示其中一个信号在时间轴上平移后两个信号的相关特性，必须引入一个新的度量量，它必定是关于其中一个信号在时间轴上的平移量的函数，即
$$R_{xy}(\tau )={\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)y(t+\tau )dt={\int }_{-\infty }^{\infty }x(t-\tau )y(t)dt\text{\hspace{1em}(4)}$$

$R_{xy}(\tau )$称为两个信号$x(t)$和$y(t)$的互相关函数。当然还可以定义另一种互相关函数$R_{yx}(\tau )$
$$R_{yx}(\tau )={\int }_{-\infty }^{\infty }y(t)x(t+\tau )dt={\int }_{-\infty }^{\infty }y(t-\tau )x(t)dt$$
显然，这两种定义的互相关函数并不相等，互相关函数下标x和y的先后次序，表示了一个信号相对于另一信号的平移方向，故有
$$R_{yx}(\tau )=R_{xy}(-\tau )$$
可见$R_{yx}(\tau )$仅仅是$R_{xy}(\tau )$对纵坐标轴的翻转，它们对度量$x(t)$和$y(t)$的相似性或相依程度具有完全相同的信息。

若$y(t)=x(t)$，则表示了信号$x(t)$与其自身的相互关系，称为信号$x(t)$的自相关函数，为
$$R_{(}xx)(\tau )={\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)x(t+\tau )dt={\int }_{-\infty }^{\infty }x(t-\tau )x(t)dt\text{\hspace{1em}(5)}$$
显然有
$$R_{xx}(\tau )=R_{xx}(-\tau )$$
根据自相关函数的定义，当$\tau =0$时有$R_{xx}(0)={\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^2(t)dt$，它恰等于信号本身的能量，此值也是自相关函数的最大值，对于周期信号的自相关函数，$\tau$为信号周期的整数倍时达到其最大值，此值等于该周期信号的平均功率。

对于功率型信号，可以有与式（4）、式（5）相对应的定义，为
$$\begin{gathered} R_{xy}(\tau )=li{m}_{T\to \infty }\frac{1}{2T}{\int }_{-T}^{T}x(t)y(t+\tau )dt \\ {R}_{xx}(\tau )=li{m}_{T\to \infty }\frac{1}{2T}{\int }_{-T}^{T}x(t)x(t+\tau )dt \end{gathered}$$
若$x(t)、y(t)$是两个周期为$2T$的周期信号，则它们的$R_{xy}(\tau )$和$R_{xx}(\tau )$可表示为
$$\begin{gathered} R_{xy}(\tau )=\frac{1}{2T}{\int }_{-T}^{T}x(t)y(t+\tau )dt \\ {R}_{xx}(\tau )=\frac{1}{2T}{\int }_{-T}^{T}x(t)x(t+\tau )dt \end{gathered}$$
由以上定义可知，互相关函数是彼此有位移的两个信号之间相似或相依程度的度量，是两个信号相对位移$\tau$的函数，因而不仅可以用来确定信号是否存在，还能用来测量信号到达的时间及彼此的距离。

通常相关函数由定义直接求取，可以分为解析法和图解法。

三、相关定理

对于两个信号$x(t)$和$y(t)$，可以进行卷积运算，也可以进行相关函数的计算。
$$\begin{gathered} x(\tau )\ast y(\tau )={\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)y(\tau -t)dt \\ {R}_{xy}(\tau )={\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)y(\tau +t)dt \end{gathered}$$
可见，这两种运算非常相似，都有一个位移、相乘、求和（积分）的过程，差别仅仅在于卷积运算先要进行翻转，所以有
$$R_{yx}(\tau )=R_{xy}(-\tau )={\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)y(t-\tau )dt=x(\tau )\ast y(-\tau )\text{\hspace{1em}(6)}$$
上式表明，可以通过两个信号的卷积运算求取它们的相关函数，只要在卷积运算之前先对一个信号进行翻转即可。

由卷积定理，建立了时域卷积和频域相乘的对应关系，那么相关函数在频域有否类似的对应关系呢？

设已知
$$x(t)\stackrel{F}{\leftrightarrow }X(w),y(t)\stackrel{F}{\leftrightarrow }Y(w)$$
根据傅里叶变换卷积定理及翻转公式，有
$$x(t)\ast y(-t)\stackrel{F}{\leftrightarrow }X(w)Y(-w)$$
由式（6），可以得到
$$R_{yx}(\tau )\stackrel{F}{\leftrightarrow }X(w)Y(-w)$$
对于实函数$y(t)$，有$Y(-w)=Y^{\ast }(w)$，故有
$$R_{yx}(\tau )=R_{xy}(-\tau )\stackrel{F}{\leftrightarrow }X(w)Y^{\ast }(w)$$
$X(w)Y^{\ast }(w)$称为互能量密度谱，它与互相关函数$R_{yx}(\tau )$互为傅里叶变换对。

更进一步，若$y(t)$为实偶函数，则$Y(w)=Y^{\ast }(w)$也是实偶函数，故有
$$R_{yx}(\tau )=R_{xy}(-\tau )\stackrel{F}{\leftrightarrow }X(w)Y(w)$$
上面的讨论用于自相关函数，可得到实函数$x(t)$的自相关函数为
$$R_{xx}(\tau )\stackrel{F}{\leftrightarrow }X(w)X^{\ast }(w)=|X(w){|}^2=E(w)\text{\hspace{1em}(7)}$$
这就是相关定理，表明一个信号的自相关函数和该信号的自能量密度谱互为傅里叶变换对。

式（7）即为
$$R_{xx}(\tau )=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }|X(w){|}^2{e}^{jw\tau }dw$$
故有
$$R_{xx}(0)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }|X(w){|}^{2}dw$$
而由上面的讨论，信号$x(t)$的总能量为
$$R_{xx}(0)={\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^2(t)dt$$
由此得到
$$R_{xx}(0)={\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^2(t)dt=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }|X(w){|}^{2}dw$$
显然这就是实连续信号的帕斯瓦尔公式

对一般的功率型信号，类似地可得出
$$\begin{gathered} R_{yx}(\tau )\stackrel{F}{\leftrightarrow }li{m}_{T\to \infty }\frac{1}{2T}{X}_T(w)Y_T^{\ast }(w) \\ {R}_{xx}(\tau )\stackrel{F}{\leftrightarrow }li{m}_{T\to \infty }\frac{1}{2T}|X_T(w){|}^2 \end{gathered}$$
其中$X_T(w)$和$Y_T(x)$分别是$x(t)$和$y(t)$截断后的傅里叶变换，即
$$\begin{gathered} x_T(t)=\{\begin{array}{ll}x(t)& |t|<T\\ 0& |t|>T\end{array}\stackrel{F}{\leftrightarrow }{X}_T(w) \\ {Y}_T(t)=\{\begin{array}{ll}y(t)& |t|<T\\ 0& |t|>T\end{array}\stackrel{F}{\leftrightarrow }{Y}_T(w) \end{gathered}$$
并且可类似地证明功率信号帕斯瓦尔公式：
$$li{m}_{T\to \infty }\frac{1}{2T}{\int }_{-T}^T|x(t){|}^{2}dt=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }li{m}_{T\to \infty }\frac{|X_T(w){|}^2}{2T}dw$$
相关函数及相关定理是为了研究随机信号而引入的，这里借用来研究确定性信号，并重点研究信号之间的相似性或相依性。