从Newton-Cotes的截断误差公式可以看出，当积分区间$[a,b]$较大时，低阶的Newton-Cotes求积公式截断误差都比较大。由于高阶Newton-Cotes求积公式是数值不稳定的，因此通过不断增加阶数来提高求积公式的精度是不可行的。但是，如果将积分区间$[a,b]$分成几个小区间（任意的），在每个小区间上应用Newton-Cotes求积公式，其截断误差必然会减小，然后再把每个小区间上的积分值累加起来，这样却能大大提高整个积分的精度。这种方法称为复化求积方法。

常用的复化求积方法采用等分区间的做法，具体如下：

将区间$[a,b]$划分为n等分，步长为$H=\frac{(b-a)}{n}$，分点为$x_k=a+kH,k=0,1,2,\cdots ,n$。先用低阶Newton-Cotes求积公式求得每个子区间$[x_k,x_{k+1}]$上的积分值$I_k$，然后将它们累加起来求和，用${\sum }_{k=0}^{n-1}{I}_k$作为所求积分$I={\int }_a^{b}f(x)dx$的近似值。

1. 复化梯形公式

在区间$[a,b]$上采用复化求积方法，具体使用梯形求积公式进行计算，就得到复化梯形求积公式。用$T_k$表示$f(x)$在子区间$[x_k,x_{k+1}]$上的积分值，$T_n$表示$f(x)$在区间$[a,b]$上的积分值，有：
$$T_k=\frac{1}{2}H[f(x_k)+f(x_{k+1})]$$
其中
$$H=(b-a)/n,x_k=a+kH(k=0,1,2,\cdots ,n)$$
故
$$T_n=\sum _{k=0}^{n-1}{T}_k=\frac{1}{2}H\sum _{k=0}^{n-1}[f(x_k)+f(x_{k+1})]$$
即：
$$T_n=\frac{1}{2}H[f(x_{k=0})+f(x_{k=n})+2\sum _{k=1}^{n-1}f(x_k)]$$
或
$$T_n=\frac{b-a}{2n}[f(a)+f(b)+2\sum _{k=1}^{n-1}f(x_k)]$$
截断误差用$R_T$表示，由于$f(x)$在区间$[a,b]$上有连续的二阶导数，故有：
$$R_T=\sum _{k=0}^{n-1}-\frac{1}{12}{H}^3{f}^{(2)}({\eta }_k)=-\frac{1}{12}{H}^3\sum _{k=0}^{n-1}{f}^{(2)}({\eta }_k){\eta }_k\in [x_k,x_{k+1}]$$
即
$$R_T=-\frac{1}{12}{H}^3\cdot n\cdot f^{(2)}(\eta )=-\frac{(b-a)}{12}{H}^2{f}^n(\eta )\eta \in [a,b]$$

2. 复化Simpson公式

在区间$[a,b]$上采用复化求积方法，具体使用Simpson求积公式进行计算，就得到复化Simpson公式。用$S_k$表示$f(x)$在子区间$[x_k,x_{k+1}]$上的积分值，$S_n$表示$f(x)$在区间$[a,b]$上的积分值，有：
$$S_k=\frac{1}{6}H[f(x_k)+4f(x_{k+\frac{1}{2}})+f(x_{k+1})]$$
式中，$x_{k+\frac{1}{2}}$为子区间$[x_k,x_{k+\frac{1}{2}}]$的中点，$H=(b-a)/n$。
$$S_n=\sum _{k=0}^{n-1}=\frac{1}{6}H\sum _{k=0}^{n-1}[f(x_k)+4f(x_{k+\frac{1}{2}})+f(x_{k+1})]$$
故
$$S_n=\sum _{k=0}^{n-1}=\frac{1}{6}H[f(a)+4\sum _{k=0}^{n-1}f(x_{k+\frac{1}{2}})+2\sum _{k=1}^{n-1}f(x_k)+f(b)]$$
截断误差用$R_s$表示，由于$f(x)$在区间$[a,b]$上有连续的四阶导数，故有：
$$R_S=\sum _{k=0}^{n-1}-\frac{1}{2880}{H}^5{f}^{(4)}({\eta }_k)=-\frac{1}{2880}{H}^5\sum _{k=0}^{n-1}{f}^{(4)}({\eta }_k){\eta }_k\in [x_k,x_{k+1}]$$

3. 复化Cotes公式

在区间$[a,b]$上采用复化求积方法，具体使用Cotes求积公式进行计算，就得到复化Cotes公式为：
$$C_n=\frac{1}{90}H[7f(a)+32\sum _{k=0}^{n-1}f(x_{k+\frac{1}{4}})+12\sum _{k=0}^{n-1}f(x_{k+\frac{1}{2}})+32\sum _{k=0}^{n-1}f(x_{k+\frac{3}{4}})+14\sum _{k=1}^{n-1}f(x_k)+7f(b)]$$
截断误差为：
$$R_c=-\frac{2(b-a)}{945}(\frac{H}{4}{)}^6{f}^{(6)}(\eta )\eta \in [a,b]$$
从复化求积的余项公式中可以看出，复化梯形公式、复化Simpson公式、复化Cotes公式的余项和步长的关系为$R_T=O(h^2),R_s=O(h^4),R_c=O(h^6)$。因此，当$H\to 0$或$n\to \infty$时，$T_n,S_n,C_n\to I$。