最小方差无偏估计和有效估计
最小方差无偏估计[MVUE]
最小方差无偏估计
定义：
最小方差无偏估计MVUE是在无偏估计类中，使得均方误差MSE达到最小的估计量，即在均方误差最小意义下的最优估计。
求解：
设总体X的分布函数为
F
(
x
;
θ
)
,
θ
∈
Θ
,
(
X
1
,
X
2
,
⋯
,
X
n
)
T
F(x;\theta ),\theta\in\varTheta,(X_1,X_2,\cdots ,X_n)^T
F(x;θ),θ∈Θ,(X1,X2,⋯,Xn)T为其样本，若
T
=
(
X
1
,
X
2
,
⋯
,
X
n
)
T=(X_1,X_2,\cdots ,X_n)
T=(X1,X2,⋯,Xn)是
θ
\theta
θ的充分完备统计量，
θ
^
\hat{\theta}
θ^为
θ
\theta
θ的一个无偏估计，则
θ
^
∗
≜
E
(
θ
^
∣
T
)
\hat{\theta }^\ast \triangleq E(\hat{\theta }|T)
θ^∗≜E(θ^∣T) 为
θ
\theta
θ的唯一的最小方差无偏估计。
举例：
泊松总体
P
(
λ
)
P(\lambda )
P(λ),
X
‾
\overline{\Chi}
X是参数
λ
\lambda
λ的充分完备统计量且又是
λ
\lambda
λ的一个无偏估计量，所以
E
(
X
‾
\
X
‾
)
=
X
‾
E(\overline{\Chi}\backslash\overline{\Chi})=\overline{\Chi}
E(X\X)=X是
λ
\lambda
λ的最小方差无偏估计。
正态总体
罗-克拉默不等式
有效估计
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