连续信号（七）| 周期信号的傅里叶变换
周期信号的傅里叶变换在一个周期内绝对可积的周期信号可以用傅里叶级数来表示，在无限区间内绝对可积的非周期信号可以用傅里叶变换来表示，分别解决了周期信号和非周期信号的频谱问题。实际上，通过在变换中引入冲激函数，可以得出周期信号的傅里叶变换，这样，就能把周期信号与非周期信号的频域分析统一起来，给分析带来便利。复指数信号ejw0te^{jw_0t}ejw0t的傅里叶变换考虑x(t)ejw0tx(t)e^
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周期信号的傅里叶变换
在一个周期内绝对可积的周期信号可以用傅里叶级数来表示，在无限区间内绝对可积的非周期信号可以用傅里叶变换来表示，分别解决了周期信号和非周期信号的频谱问题。实际上，通过在变换中引入冲激函数，可以得出周期信号的傅里叶变换，这样，就能把周期信号与非周期信号的频域分析统一起来，给分析带来便利。
- 复指数信号 e j w 0 t e^{jw_0t} ejw0t的傅里叶变换
考虑
x
(
t
)
e
j
w
0
t
x(t)e^{jw_0t}
x(t)ejw0t的傅里叶变换为
∫
−
∞
∞
e
j
w
0
t
e
−
j
w
t
d
t
=
∫
−
∞
∞
x
(
t
)
e
−
j
(
w
−
w
0
)
t
d
t
\int_{-\infty}^{\infty}e^{jw_0t}e^{-jwt}dt=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j(w-w_0)t}dt
∫−∞∞ejw0te−jwtdt=∫−∞∞x(t)e−j(w−w0)tdt
设
x
(
t
)
x(t)
x(t)的傅里叶变换为
X
(
w
)
X(w)
X(w)，则上式为
X
(
w
−
w
0
)
X(w-w_0)
X(w−w0)。
令
x
(
t
)
=
1
x(t)=1
x(t)=1，由
X
(
w
)
=
2
π
δ
(
w
)
X(w)=2\pi\delta(w)
X(w)=2πδ(w)，于是得
e
j
w
0
t
e^{jw_0t}
ejw0t的傅里叶变换为
X
e
(
w
)
=
X
(
w
−
w
0
)
=
2
π
δ
(
w
−
w
0
)
X_e(w)=X(w-w_0)=2\pi\delta(w-w_0)
Xe(w)=X(w−w0)=2πδ(w−w0)，即
e
j
w
0
t
↔
F
2
π
δ
(
w
−
w
0
)
e^{jw_0t}\overset{F}{\leftrightarrow}2\pi\delta(w-w_0)
ejw0t↔F2πδ(w−w0)
复指数信号的频谱是实函数，因此相频为零
- 正弦信号 s i n w 0 t sinw_0 t sinw0t的傅里叶变换
由欧拉公式有
s
i
n
w
0
t
=
1
2
j
(
e
j
w
0
t
−
e
−
j
w
0
t
)
sinw_0t=\frac{1}{2j}(e^{jw_0t}-e^{-jw_0t})
sinw0t=2j1(ejw0t−e−jw0t)
根据复指数信号的傅里叶变换，有
X
s
(
w
)
=
F
(
s
i
n
w
0
t
)
=
1
2
j
[
2
π
δ
(
w
−
w
0
)
−
2
π
δ
(
w
+
w
0
)
]
=
−
j
π
δ
(
w
−
w
0
)
+
j
π
δ
(
w
+
w
0
)
X_s(w)=F(sinw_0t)=\frac{1}{2j}[2\pi\delta(w-w_0)-2\pi\delta(w+w_0)]=-j\pi\delta(w-w_0)+j\pi\delta(w+w_0)
Xs(w)=F(sinw0t)=2j1[2πδ(w−w0)−2πδ(w+w0)]=−jπδ(w−w0)+jπδ(w+w0)
即
s
i
n
w
0
t
↔
F
−
j
π
δ
(
w
−
w
0
)
+
j
π
δ
(
w
+
w
0
)
sinw_0t\overset{F}{\leftrightarrow}-j\pi\delta(w-w_0)+j\pi\delta(w+w_0)
sinw0t↔F−jπδ(w−w0)+jπδ(w+w0)
- 余弦信号 c o s w 0 t cosw_0t cosw0t的傅里叶变换
同理，
c
o
s
w
0
t
=
1
2
(
e
j
w
0
t
+
e
−
j
w
0
t
)
cosw_0t=\frac{1}{2}(e^{jw_0t}+e^{-jw_0t})
cosw0t=21(ejw0t+e−jw0t)故有
X
e
(
w
)
=
F
(
c
o
s
w
0
t
)
=
π
δ
(
w
−
w
0
)
+
π
δ
(
w
+
w
0
)
X_e(w)=F(cosw_0t)=\pi \delta(w-w_0)+\pi\delta(w+w_0)
Xe(w)=F(cosw0t)=πδ(w−w0)+πδ(w+w0)
即
c
o
s
w
0
t
↔
F
π
δ
(
w
−
w
0
)
+
π
δ
(
w
+
w
0
)
cosw_0t \overset{F}{\leftrightarrow}\pi \delta(w-w_0)+\pi\delta(w+w_0)
cosw0t↔Fπδ(w−w0)+πδ(w+w0)
- 一般周期信号的傅里叶变换
一般的周期信号
x
(
t
)
x(t)
x(t)可以展开成指数形式的傅里叶级数
x
(
t
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
X
(
n
w
0
)
e
j
n
w
0
t
x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}X(nw_0)e^{jnw_0t}
x(t)=n=−∞∑∞X(nw0)ejnw0t
对上式取傅里叶变换，有
X
(
w
)
=
F
[
x
(
t
)
]
=
F
[
∑
n
=
−
∞
∞
X
(
n
w
0
)
e
j
n
w
0
t
]
=
∑
n
=
∞
∞
X
(
n
w
0
)
F
[
e
j
n
w
0
t
]
X(w)=F[x(t)]=F[\sum_{n=-\infty}^{\infty}X(nw_0)e^{jnw_0}t]=\sum_{n=\infty}^{\infty}X(nw_0)F[e^{jnw_0t}]
X(w)=F[x(t)]=F[n=−∞∑∞X(nw0)ejnw0t]=n=∞∑∞X(nw0)F[ejnw0t]
已知
e
j
n
w
0
t
e^{jnw_0t}
ejnw0t的傅里叶变换为
2
π
δ
(
w
−
n
w
0
)
2\pi\delta(w-nw_0)
2πδ(w−nw0)，代入上式，即得
X
(
w
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
2
π
X
(
n
w
0
)
δ
(
w
−
n
w
0
)
(5)
X(w)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}2\pi X(nw_0)\delta(w-nw_0) \tag{5}
X(w)=n=−∞∑∞2πX(nw0)δ(w−nw0)(5)
上式表明，周期信号的傅里叶变换（频谱密度函数）由无穷多个冲激函数组成，这些冲激函数位于周期信号的各谐波频率
n
w
0
(
n
=
0
,
±
1
,
±
2
,
⋯
)
nw_0(n=0,\pm 1,\pm 2,\cdots)
nw0(n=0,±1,±2,⋯)处，其强度为各相应幅度
X
(
n
w
0
)
X(nw_0)
X(nw0)的
2
π
2\pi
2π倍。
**例1：**求出信号的傅里叶级数展开式为
X
(
n
w
0
)
=
E
τ
T
0
S
a
(
1
2
n
w
0
τ
)
X(nw_0)=\frac{E\tau}{T_0}Sa(\frac{1}{2}nw_0\tau)
X(nw0)=T0EτSa(21nw0τ)
代入式（5），即得出信号的傅里叶变换
X
(
w
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
2
π
E
τ
T
0
S
a
(
1
2
n
w
0
τ
)
δ
(
w
−
w
0
)
=
w
0
E
τ
∑
−
∞
∞
S
a
(
1
2
n
w
0
τ
)
δ
(
w
−
n
w
0
)
X(w)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}2\pi \frac{E\tau}{T_0}Sa(\frac{1}{2}nw_0\tau)\delta(w-w_0)=w_0E\tau\sum_{-\infty}^{\infty}Sa(\frac{1}{2}nw_0\tau)\delta(w-nw_0)
X(w)=n=−∞∑∞2πT0EτSa(21nw0τ)δ(w−w0)=w0Eτ−∞∑∞Sa(21nw0τ)δ(w−nw0)
下图a表明
T
0
=
2
τ
T_0=2\tau
T0=2τ时周期矩形脉冲信号的傅里叶变换
X
(
w
)
X(w)
X(w)，并将该信号傅里叶级数的复系数
X
(
n
w
0
)
X(nw_0)
X(nw0)示于图b中。比较
X
(
w
)
X(w)
X(w)和
X
(
n
w
0
)
X(nw_0)
X(nw0)的图形，我们可以看到，首先，它们都是频率离散的，其次，它们具有相同的包络线。然而它们又有明显的区别，傅里叶系数
X
(
n
w
0
)
X(nw_0)
X(nw0)表示的是谐波分量的幅度，它们是有限值；而傅里叶变换
X
(
w
)
X(w)
X(w)则表示频谱密度，含单位频率所具有的频谱的物理意义，因此，它们是位于各谐波频率
n
w
0
nw_0
nw0处的冲激函数，其强度为各相应
X
(
n
w
0
)
X(nw_0)
X(nw0)的
2
π
2\pi
2π倍。
例2：求周期为 T 0 T_0 T0的周期性冲激串 δ T ( t ) \delta_T(t) δT(t)的傅里叶变换。
解：冲激串
δ
T
(
t
)
\delta_T(t)
δT(t)可表示为
δ
T
(
t
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
δ
(
t
−
n
T
0
)
\delta_T(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_0)
δT(t)=n=−∞∑∞δ(t−nT0)
由于
δ
T
(
t
)
\delta_T(t)
δT(t)是周期函数，可展开成傅里叶级数
δ
T
(
t
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
X
(
n
w
0
)
e
j
n
w
0
t
\delta_T(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}X(nw_0)e^{jnw_0t}
δT(t)=n=−∞∑∞X(nw0)ejnw0t
式中，
w
0
=
2
π
T
0
w_0=\frac{2\pi}{T_0}
w0=T02π，以及
X
(
n
w
0
)
=
1
T
0
∫
−
T
0
2
T
0
2
δ
T
(
t
)
e
−
j
n
w
0
t
d
t
X(nw_0)=\frac{1}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}\delta_T(t)e^{-jnw_0t}dt
X(nw0)=T01∫−2T02T0δT(t)e−jnw0tdt
在
(
−
T
0
2
,
T
0
2
)
(-\frac{T_0}{2},\frac{T_0}{2})
(−2T0,2T0)周期内，
δ
T
(
t
)
\delta_T(t)
δT(t)即单位冲激信号
δ
(
t
)
\delta(t)
δ(t)，所以
X
(
n
w
0
)
=
1
T
0
X(nw_0)=\frac{1}{T_0}
X(nw0)=T01
代入式（5），即得
δ
T
(
t
)
\delta_T(t)
δT(t)的傅里叶变换为
X
(
w
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
2
π
⋅
1
T
0
δ
(
w
−
n
w
0
)
=
w
0
∑
n
=
−
∞
∞
δ
(
w
−
n
w
0
)
X(w)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}2\pi·\frac{1}{T_0}\delta(w-nw_0)=w_0\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(w-nw_0)
X(w)=n=−∞∑∞2π⋅T01δ(w−nw0)=w0n=−∞∑∞δ(w−nw0)
表明周期性冲激串
δ
T
(
t
)
\delta_T(t)
δT(t)的频谱密度仍然是一个冲激串，其频谱的间隔为
w
0
w_0
w0，冲激强度也为
w
0
w_0
w0，如下图所示。
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