误差和误差限

在数值计算中使用的数通常有两种类型：一种是能够准确反映客观事物数量关系的精确数，如班级有30人，有$\frac{1}{2}$为男生；另一种是近似反映客观事物数量关系的近似数，如书重0.15kg。如果改变观测方法、提高测量精度，这些数据会更准确些，但仍然会和实际值之间存在着一定差异，这种差异就是误差。因此，如何控制计算误差、提高计算精度是重要问题

1. 绝对误差和绝对误差限

设数$x^{\ast }$为精确数（精确值或真值），数x为其近似数（近似值），则
$$e(x)=x^{\ast }-x$$
称为近似值x的绝对误差。一般情况下，人们无法准确地知道精确值$x^{\ast }$的大小，但根据具体的测量和计算情况，如果总有
$$|e(x)|=|x^{\ast }-x|\le ϵ$$
成立，则称$ϵ$为近似值$x$的绝对误差限。显然有
$$x-ϵ\le x^{\ast }\le x+ϵ$$
这表明精确数介于某两个数之间。因此在工程上，精确值$x^{\ast }$常常可表示成另一种形式：
$$x^{\ast }=x\pm ϵ$$
绝对误差不足以刻画近似数的精确程度，除了绝对误差以外，还必须考虑此数本身的大小，即有相对误差的概念。

2. 相对误差与相对误差限

定义近似数x的相对误差为：
$$e_r(x)=(x^{\ast }-x)/x^{\ast }$$
由于精确数$x^{\ast }$在一般情形下无法得知，而$x\approx x^{\ast }$，故相对误差常用下列定义：
$$e_r(x)=(x^{\ast }-x)/x$$
相应地，相对误差限${ϵ}_r$定义为：
$$|e_r(x)|=|\frac{x^{\ast }-x}{x}|\le ϵ$$