由三角函数组成的函数项级数，即所谓的三角级数，着重研究如何把函数展开成三角级数。

一、三角级数 三角函数系的正交性

如何深入研究非正弦周期函数呢？我们用函数的幂级数展开式表示与讨论函数，因此我们也可将周期函数展开由简单的周期函数例如三角函数组成的级数。具体地说，将周期为$T(=\frac{2\pi }{\omega })$的周期函数用一系列以T为周期的正弦函数$A_{n}sin(n\omega t+{\phi }_n)$组成的级数来表示，记为
$$f(t)=A_0+\sum _{n=1}^{\infty }{A}_{n}sin(n\omega t+{\phi }_n)\text{\hspace{1em}(1)}$$
其中$A_0,A_n,{\phi }_n(n=1,2,3,\cdot \cdot \cdot )$都是常数。

将周期函数按上述方式展开，它的物理意义很明确，就是把一个比较复杂的周期运动看成是许多不同频率的简谐振动的叠加。在电工学上，这种展开称为谐波分析，其中常数项$A_0$称为$f(t)$的直流分量，$A_{1}sin(\omega t+{\phi }_1)$称为一次谐波（又叫做基波），$A_{2}sin(2\omega t+{\phi }_2)$，$A_{3}sin(3\omega t+{\phi }_3),\cdot \cdot \cdot$依次称为二次谐波，三次谐波，等等。

为了方便起见，将正弦函数$A_{n}sin(n\omega t+{\phi }_n)$按三角公式变形得
$$A_{n}sin(n\omega t+{\phi }_n)=A_{n}sin{\phi }_{n}cosn\omega t+A_{n}cos{\phi }_{n}sinn\omega t$$
并且令$\frac{a_0}{2}=A_0,a_n=A_{n}sin{\phi }_n,b_n=A_{n}cos{\phi }_n,\omega =\frac{\pi }{l}$（即$T=2l$），则（1）式右端的级数就可以改写为
$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}cos\frac{n\pi t}{l}+b_{n}sin\frac{n\pi t}{l})\text{\hspace{1em}(2)}$$
形式（2）式的级数叫做三角级数，其中$a_0,a_n,b_n(n=1,2,3,\cdot \cdot \cdot )$都是常数。

令$\frac{\pi l}{l}=x$，（2）式成为
$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}cosnx+b_{n}sinnx)\text{\hspace{1em}(3)}$$
这就把2l为周期的三角级数转换成以$2\pi$为周期的三角函数

下面讨论以$2\pi$为周期的三角级数（3）

如同讨论幂级数时一样，必须先讨论三角级数（3）的收敛问题，以及给定周期为$2\pi$的周期函数如何展开成三角三角级数（3）。为此，首先介绍三角函数系的正交性。

所谓三角函数系
$$1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,\cdot \cdot \cdot ,cosnx,sinnx,\cdot \cdot \cdot \text{\hspace{1em}(4)}$$
在区间$[-\pi ,\pi ]$上正交，就是指在三角函数系（4）中任何不同的两个函数的乘积在区间$[-\pi ,\pi ]$上的积分等于零，即
$$\begin{gathered} {\int }_{-\pi }^{\pi }cosnxdx=0(n=1,2,3,\cdot \cdot \cdot ), \\ {\int }_{-\pi }^{\pi }sinnxdx=0(n=1,2,3,\cdot \cdot \cdot ), \\ {\int }_{-\pi }^{\pi }sinkxcosnxdx=0(1,2,3,\cdot \cdot \cdot ), \\ {\int }_{-\pi }^{\pi }coskxcosnxdx=0(k,n=1,2,3,\cdot \cdot \cdot ,k\ne n), \\ {\int }_{-\pi }^{\pi }sinkxsinnxdx=0(k,n=1,2,3,\cdot \cdot \cdot ,k\ne n) \end{gathered}$$
以上等式，都可以通过计算定积分来验证

在三角函数系（4）中，两个相同函数的乘积在区间$[-\pi ,\pi ]$上的积分不等于零，即
$${\int }_{-\pi }^{\pi }{1}^{2}dx=2\pi ,{\int }_{-\pi }^{\pi }si{n}^{2}nxdx=\pi ,(n=1,2,3,\cdot \cdot \cdot )$$

二、函数展开成傅里叶级数

设$f(x)$是周期为$2\pi$的周期函数，且能展开成三角级数
$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{k=1}^{\infty }(a_{k}coskx+b_{k}sinkx)\text{\hspace{1em}(5)}$$
问题：系数$a_0,a_1,b_1,\cdot \cdot \cdot$与函数$f(x)$之间存在着怎样的关系？换句话说，如何利用$f(x)$把$a_0,a_1,b_1,\cdot \cdot \cdot$表达出来？为此，应进一步假设（5）式右端的级数可以逐项积分。

先求$a_0$.对（5）式从$-\pi$到$\pi$积分，由于假设（5）式右端级数可逐项积分，因此有
$${\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)dx={\int }_{-\pi }^{\pi }\frac{a_0}{2}dx+\sum _{k=1}^{\infty }[a_k{\int }_{-\pi }^{\pi }coskxdx+b_k{\int }_{-\pi }^{\pi }sinkxdx]$$
根据三角函数系（4）的正交性，等式右端除第一项外，其余各项均为零，所以
$${\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)dx=\frac{a_0}{2}\cdot 2\pi$$
于是得
$$a_0=\frac{1}{\pi }f(x)dx$$
其次求$a_n$。用$cosnx$乘（5）式两端，再从$-\pi$到$\pi$积分，得到
$${\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)cosnxdx=\frac{a_0}{2}{\int }_{-\pi }^{\pi }cosnxdx+\sum _{k=1}^{\infty }[a_k{\int }_{-\pi }^{\pi }coskxcosnxdx+b_k{\int }_{-\pi }^{\pi }sinkxcosnxdx]$$
根据三角系数系（4）的正交性，等式右端除$k=n$的一项外，其余各项均为零，所以
$${\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)cosnxdx=a_n{\int }_{-\pi }^{\pi }co{s}^{2}nxdx=a_n\pi$$
于是得
$$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)cosnxdx(n=1,2,3,\cdot \cdot \cdot )$$
类似地，用$sinnx$乘（5）式的两端，再从$-\pi$到$\pi$积分，可得
$$b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)sinnxdx(n=1,2,3,\cdot \cdot \cdot )$$
由于当$n=0$时，$a_n$的表达式正好给出$a_0$，因此，已得结果可以合并写成
$$\begin{gathered} a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)cosnxdx(n=0,1,2,3,\cdot \cdot \cdot ) \\ {b}_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)sinnxdx(n=1,2,3,\cdot \cdot \cdot )\text{\hspace{1em}(6)} \end{gathered}$$
如果式（6）中的积分都存在，这时它们定出的系数$a_0,a_1,b_1,\cdot \cdot \cdot$叫做函数$f(x)$的傅里叶系数。将这些系数代入（5）式右端，所得的三角级数
$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}cosnx+b_{n}sinnx)$$
叫做函数$f(x)$的傅里叶级数。

一个定义在$(-\infty ,+\infty )$上周期为$2\pi$的函数$f(x)$，如果它在一个周期上可积，那么一定可以作出$f(x)$的傅里叶级数。然而，函数$f(x)$的傅里叶级数是否一定收敛？如果它收敛，他是否一定收敛于函数$f(x)$？一般说来，这两个问题的答案都不是肯定的。那么，$f(x)$在怎样的条件下，它的傅里叶级数不仅收敛，而且收敛于$f(x)$?也就是说，$f(x)$满足什么条件可以展开成傅里叶级数？

下面收敛定理给出上述问题的一个重要结论。

定理：（收敛定理，狄利克雷充分条件）设$f(x)$是周期为$2\pi$的周期函数，如果它满足：

（1）在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点

（2）在一个周期内至多只有有限个极值点，

那么$f(x)$的傅里叶级数收敛，并且

当x是$f(x)$的连续点时，级数收敛于$f(x)$；

当x是$f(x)$的间断点时，级数收敛于$\frac{1}{2}[f(x^{-})+f(x^{+})]$

收敛定理表明：只要函数在$[-\pi ,\pi ]$上至多有有限个第一类间断点，并且不作无限次振动，函数的傅里叶级数在连续点处就收敛于该点的函数值，在间断点处收敛于该点左极限与右极限的算术平均值。可见，函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低得多。记
C = { x ∣ f ( x ) = 1 2 [ f ( x − ) + f ( x + ) ] } C=\{x|f(x)=\frac{1}{2}[f(x^-)+f(x^+)]\} C={x∣f(x)=21​[f(x−)+f(x+)]}
在C上就成立$f(x)$的傅里叶级数展开式.
$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}cosnx+b_{n}sinnx),x\in C\text{\hspace{1em}(7)}$$
例1：设$f(x)$是周期为$2\pi$的周期函数，它在$[-\pi ,\pi )$上的表达式为
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}-1,& -\pi \le x<0\\ 1,& 0\le x<\pi \end{array}$$
将$f(x)$展开成傅里叶级数，并作出级数的和函数的图形。

解：所给函数满足收敛定理的条件，它在点$x=k\pi (k=0,\pm 1,\pm 2,\cdot \cdot \cdot )$处不连续，在其他点处连续，从而由收敛定理知道$f(x)$的傅里叶级数收敛，并且当$x=k\pi$时级数收敛于
$$\frac{-1+1}{2}=\frac{1+(-1)}{2}=0$$
当$x\ne k\pi$时级数收敛于$f(x)$。

计算傅里叶系数如下：
$$\begin{gathered} a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)cosnxdx \\ =\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^0(-1)cosnxdx+\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }1\cdot cosnxdx \\ =0(n=0,1,2,\cdot \cdot \cdot ); \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)sinnxdx \\ =\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{0}f(x)sinnxdx+\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }1\cdot sinnxdx \\ =\frac{2}{n\pi }[1-(-1{)}^n] \\ =\{\begin{array}{ll}\frac{4}{n\pi },& n=1,3,5,\cdot \cdot \cdot \\ 0,& n=2,4,6,\cdot \cdot \cdot \end{array} \end{gathered}$$

将求得的系数代入（7）式，就得到$f(x)$的傅里叶级数展开式为
$$\begin{gathered} f(x)=\frac{4}{\pi }[sinx+\frac{1}{3}sin3x+\cdot \cdot \cdot +\frac{1}{2k-1}sin(2k-1)x+\cdot \cdot \cdot ] \\ =\frac{4}{\pi }\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{2k-1}sin(2k-1)x(-\infty <x<+\infty ;x\ne 0,\pm \pi ,\pm 2\pi ,\cdot \cdot \cdot ) \end{gathered}$$

如果把上例中的函数理解为矩形波的波形函数（周期$T=2\pi$，振幅$E=1$，自变量x表示时间），那么上面所得到的展开式表明：矩形波是由一系列不同频率的正弦波叠加而成的，这些正弦波的频率依次为基波频率的奇数倍。

应该注意，如果函数$f(x)$只在$[-\pi ,\pi ]$上有定义i，并且满足收敛定理的条件，那么$f(x)$也可以展开成傅里叶级数。事实上，我们可在$[-\pi ,\pi )$或$(-\pi ,\pi ]$外补充函数$f(x)$的定义，使它拓广成周期为$2\pi$的周期函数$F(x)$。按这种方式拓广函数的定义域的过程称为周期延拓。再将$F(x)$展开成傅里叶级数。最后限制$x$在$(-\pi ,\pi )$内，此时$F(x)\equiv f(x)$，这样便得到$f(x)$的傅里叶级数展开式。根据收敛定理，这级数在区间端点$x=\pm \pi$处收敛于$\frac{f({\pi }^{-})+f(-{\pi }^{+})}{2}$。

三、正弦级数和余弦级数

一般来说，一个函数的傅里叶级数既含有正弦项，又含有余弦项。但是，也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项。实际上，这是与所给函数$f(x)$的奇偶性有密切关系的。对于周期为$2\pi$的函数$f(x)$，它的傅里叶系数计算公式为
$$\begin{gathered} a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)cosnxdx(n=0,1,2,\cdot \cdot \cdot ), \\ {b}_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)sinnxdx(n=1,2,3,\cdot \cdot \cdot ) \end{gathered}$$
由于奇函数在对称区间上的积分为零，偶函数在对称区间上的积分等于半区间上积分的两倍，因此，

当$f(x)$为奇函数时，$f(x)cosnx$是奇函数，$f(x)sinnx$是偶函数，故
$$\begin{gathered} a_n=0(n=0,1,2,\cdot \cdot \cdot ) \\ {b}_n=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }f(x)sinnxdx(n=1,2,3,\cdot \cdot \cdot ) \end{gathered}$$
即知奇函数的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数
$$\sum _{n=1}^{\infty }{b}_{n}sinnx$$
当$f(x)$为偶函数时，$f(x)cosnx$是偶函数，$f(x)sinnx$是奇函数，故
$$\begin{gathered} a_n=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }f(x)cosnxdx(n=0,1,2,\cdot \cdot \cdot ) \\ {b}_n=0(n=1,2,3,\cdot \cdot \cdot ) \end{gathered}$$
即知偶函数的傅里叶级数只是含有常数项和余弦项的余弦级数
$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}cosnx$$
在实际应用（如研究某种波动问题、热的传导、扩散问题）中，有时还需要把定义在区间$[0,\pi ]$上的函数$f(x)$展开成正弦级数或余弦级数。

根据前面讨论的结果，这类展开问题可以按如下方法解决：设函数$f(x)$定义在区间$[0,\pi ]$上并且满足收敛定理的条件，我们在开区间$(-\pi ,0)$内补充函数$f(x)$的定义，得到定义在$(-\pi ,\pi ]$上的函数$F(x)$，使它在$(-\pi ,\pi )$上成为奇函数（偶函数），若$f(0)\ne 0$，则规定$F(0)=0$。按这种方法括广函数定义域的过程称为奇延拓（偶延拓）。然后将奇延拓（欧延拓）后的函数展开成傅里叶级数，这个级数必定是正弦级数（余弦级数）。再限制x在$(0,\pi ]$上，此时$F(x)\equiv f(x)$，这样便得到$f(x)$的正弦级数（余弦级数）展开式。