一、线性微分方程的解的结构

1.1 二阶齐次线性方程

$$y^{\prime \prime }+P(x)y^{\prime }+Q(x)y=0\text{\hspace{1em}(1)}$$

定理1：如果函数$y_1(x)$与$y_2(x)$是方程（1）的两个解，那么
$$y=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)\text{\hspace{1em}(2)}$$
也是方程（1）的解，其中$C_1,C_2$是任意常数。

解（2）从形式上看含有$C_1$和$C_2$两个任意常数，但它不一定是方程（1）的通解。那么在什么情况下（2）式才是方程（1）的通解呢？要解决这个问题，还得引入新概念，即函数组的线性相关与线性无关。

设$y_1(x),y_2(x),\cdot \cdot \cdot ,y_n(x)$为定义在区间$I$上的n个函数，如果存在n个不全为零的常数$k_1,k_2,\cdot \cdot \cdot ,k_n$，使得当$x\in I$时有恒等式
$$k_1{y}_1+k_2{y}_2+\cdot \cdot \cdot +k_n{y}_n=0$$
成立，那么称这n个函数在区间I上线性相关；否则线性无关。

应用上述概念可知，对于两个函数的情形，它们线性相关与否，只要看它们的比是否为常数；如果比为常数，那么它们就线性相关；否则就线性无关。

定理2：如果$y_1(x)$与$y_2(x)$是方程（1）的两个线性无关的特解，那么
$$y=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)$$
就是方程（1）的通解，$C_1,C_2$是任意常数。

推论：如果$y_1(x),y_2(x),\cdot \cdot \cdot ，y_n(x)$是n阶齐次线性方程
$$y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdot \cdot \cdot +a_{n-1}(x)y^{\prime }+a_n(x)y=0$$
的n个线性无关的解，那么，此方程的通解为
$$y=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)+\cdot \cdot \cdot +C_n{y}_n(x)$$
其中$C_1,C_2,\cdot \cdot \cdot ,C_n$为任意常数。

1.2 二阶非齐次线性方程

一阶非齐次线性微分方程 的通解由两部分构成：一部分是对应的齐次方程的通解，另一部分是非齐次方程本身的一个特解。实际上，不仅一阶非齐次线性方程的通解具有这样的结构，而且二阶及更高阶的非齐次线性微分方程的通解也具有同样的结构。

定理3：设$y^{\ast }(x)$是二阶非齐次线性方程
$$y^{\prime \prime }+P(x)y^{\prime }+Q(x)y=f(x)\text{\hspace{1em}(3)}$$
的一个特解。$Y(x)$是与（3）对应的齐次方程（1）的通解，则
$$y=Y(x)+y^{\ast }(x)$$
是二阶非齐次线性方程（3）的通解。

由于对应的齐次方程（1）的通解$Y=C_1{y}_1+C_2{y}_2$中含有两个任意常数，所以$y=Y+y^{\ast }$中也含有两个任意常数，从而它就是二阶非齐次线性方程（3）的通解。

定理4：设非齐次线性方程（3）的右端$f(x)$是两个函数之和，即
$$y^{\prime \prime }+P(x)y^{\prime }+Q(x)y=f_1(x)+f_2(x)$$
而$y_1^{\ast }(x)$与$y_2^{\ast }(x)$分别是方程
$$y^{\prime \prime }+P(x)y^{\prime }+Q(x)y=f_1(x)$$
与
$$y^{\prime \prime }+P(x)y^{\prime }+Q(x)y=f_2(x)$$
的特解，则$y_1^{\ast }(x)+y_2^{\ast }(x)$就是原方程的特解。

这已订立通常称为线性微分方程的解的叠加原理。

定理3和定理4也可推广到n阶非齐次线性方程。

二、 常数变易法

为解一阶非齐次线性方程，我们用了常数变易法。这方法的特点是：如果$C{y}_1(x)$是齐次线性方程的通解，那么，可以利用变换$y=u{y}_1(x)$（这变换是把齐次方程的通解中的任意常数C换成未知函数$u(x)$而得到的）去解非齐次线性方程。这一方法也适用于解高阶线性方程。下面就二阶线性方程来作讨论。

2.1 已知齐次方程的两个解$y_1(x)$和$y_2(x)$

如果已知齐次方程（1）的通解为
$$Y(x)=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)$$
那么，可以用如下的常数变易法去求非齐次方程（3）的通解。令
$$y=y_1(x)v_1+y_2(x)v_2\text{\hspace{1em}(4)}$$
要确定未知函数$v_1(x)$及$v_2(x)$使（4）式所表示的函数满足非齐次方程（3）。为此对（4）式求导，得
$$y^{\prime }=y_1{v}_1^{\prime }+y_2{v}_2^{\prime }+y_1^{\prime }{v}_1+y_2^{\prime }{v}_2$$
由于两个未知函数$v_1,v_2$只需使（4）式所表示的函数满足一个关系式（3），所以可规定它们再满足一个关系式。从$y^{\prime }$的上述表示可看出，为了使$y^{\prime \prime }$的表示式中不含$v_1^{\prime \prime }$和$v_2^{\prime \prime }$，可设
$$y_1{v}_1^{\prime }+y_2{v}_2^{\prime }=0\text{\hspace{1em}(5)}$$
从而
$$y^{\prime }=y_1^{\prime }{v}_1+y_2^{\prime }{v}_2$$
再求导，得
$$y^{\prime \prime }=y_1^{\prime }{v}_1^{\prime }+y_2^{\prime }{v}_2^{\prime }+y_1^{\prime \prime }{v}_1+y_2^{\prime \prime }{v}_2$$
把$y,y^{\prime },y^{\prime \prime }$代入方程（3），化简得
$$y_1^{\prime }{v}_1^{\prime }+y_2^{\prime }{v}_2^{\prime }+(y_1^{\prime \prime }+P{y}_1^{\prime }+Q{y}_1)v_1+(y_2^{\prime \prime }+P{y}_2^{\prime }+Q{y}_2)v_2=f$$
注意到$y_1$及$y_2$是齐次方程（1）的解，故上式即为
$$y_1^{\prime }{v}_1^{\prime }+y_2^{\prime }{v}_2^{\prime }=f\text{\hspace{1em}(6)}$$
联立方程（5）与（6），在系数行列式
$$W=\left|\begin{array}{cc}{y}_1& y_2\\ y_1^{\prime }& y_2^{\prime }\end{array}\right|=y_1{y}_2^{\prime }-y_1^{\prime }{y}_2\ne 0$$
时，可解得
$$v_1^{\prime }=-\frac{y_{2}f}{W},v_2^{\prime }=\frac{y_{1}f}{W}$$
对上两式积分（假定$f(x)$连续），得
$$v_1=C_1+\int (-\frac{y_{2}f}{W})dx,v_2=C_2+\int \frac{y_{1}f}{W}dx$$
于是得非齐次方程（3）的通解为
$$y=C_1{y}_1+C_2{y}_2-y_1\int \frac{y_{2}f}{W}dx+y_2\int \frac{y_{1}f}{W}dx$$

2.2 已知齐次方程的一个解$y_1(x)$

如果只知齐次方程（1）的一个不恒为零的解$y_1(x)$，那么，利用变换$y=u{y}_1(x)$，可把非齐次方程（3）化为一阶线性方程。

事实上，把
$$y=y_{1}u,y^{\prime }=y_1{u}^{\prime }+u_1^{\prime }u,y^{\prime \prime }=y_1{u}^{\prime \prime }+2y_1^{\prime }{u}^{\prime }+y_1^{\prime \prime }u$$
代入方程（3），化简得
$$y_1{u}^{\prime \prime }+(2y_1^{\prime }+P{y}_1)u^{\prime }+(y_1^{\prime \prime }+P{y}_1^{\prime }+Q{y}_1)u=f$$
由于$y_1^{\prime \prime }+P{y}_1^{\prime }+Q{y}_1=0$，故上式为
$$y_1{u}^{\prime \prime }+(2y_1^{\prime \prime }+P{y}_1)u^{\prime }=f$$
令$u^{\prime }=z$，上式即化为一阶线性方程
$$y_1{z}^{\prime }+(2y_1^{\prime }+P{y}_1)z=f\text{\hspace{1em}(7)}$$
把方程（3）化为方程（7）以后，按一阶线性方程的解法，设求得方程（7）的通解为
$$z=C_{2}Z(x)+z^{\ast }(x)$$
积分得$u=C_1+C_{2}U(x)+u^{\ast }(x)$（其中$U^{\prime }(x)=Z(x),u^{\ast }’(x)=z^{\ast }(x)$），

上式两端乘$y_1(x)$，便得方程（3）的通解
$$y=C_1{y}_1(x)+C_{2}U(x)y_1(x)+u^{\ast }(x)y_1(x)$$
上式方法显然也适用于求齐次方程（1）的通解。