SAR成像(一)：线性调频信号(LFM)和脉冲压缩
在雷达系统中，距离分辨率是很重要的一项性能指标，它决定了雷达能分辨两个单元之间的最小距离，更通俗的，即雷达分辨相离较近物体的能力。而决定雷达分辨率的是发射信号带宽，所以我们想要提高距离分辨率，就需要发射更窄的脉冲信号，但是，窄脉冲就意味着发射信号能量小，导致探测距离短，所以，对于一般的脉冲信号（脉宽、时宽乘积约为1），比如矩形脉冲信号，带宽和时宽不能同时增大，因此距离分辨率和探测距离是一对矛盾。脉
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1、脉冲压缩目的和意义
在雷达系统中，距离分辨率是很重要的一项性能指标，它决定了雷达能分辨两个单元之间的最小距离，更通俗的，即雷达分辨相离较近物体的能力。而决定雷达分辨率的是发射信号带宽，所以我们想要提高距离分辨率，就需要发射更窄的脉冲信号，但是，窄脉冲就意味着发射信号能量小，导致探测距离短，所以，对于一般的脉冲信号（脉宽、时宽乘积约为1），比如矩形脉冲信号，带宽和时宽不能同时增大，因此距离分辨率和探测距离是一对矛盾。
脉冲压缩技术就能比较好的解决上述两个参量之间的矛盾，用宽脉冲发射信号，保证足够的探测距离，在接收端用相应的匹配滤波器，通过脉冲压缩技术得到窄脉冲，以此来提高距离分辨率。
2、线性调频信号
大时宽的宽频信号有很多形式，在雷达系统中最常用的是线性调频（Linear Frequency Modulation）脉冲信号。LFM脉冲信号的载频在脉冲宽度范围内线性变化，因此也有更宽的带宽。
LFM信号的复数表达式为：
s
(
t
)
=
r
e
c
t
(
t
τ
)
e
j
2
π
(
f
0
+
K
t
2
/
2
)
s(t)=rect(\frac{t}{\tau})e^{j2\pi(f_{0}+Kt^{2}/2)}
s(t)=rect(τt)ej2π(f0+Kt2/2)
其中，
f
0
f_{0}
f0为初始载频，
τ
\tau
τ为脉冲宽度，
K
K
K为发射线性调频信号的调频斜率，且
r
e
c
t
(
t
τ
)
=
{
1
,
∣
t
∣
≤
τ
/
2
0
,
∣
t
∣
≥
τ
/
2
rect(\frac{t}{\tau})=\begin{cases} 1, \text{ $|t|\leq \tau/2$} \\ 0, \text{ $|t|\geq\tau/2$} \end{cases}
rect(τt)={1, ∣t∣≤τ/20, ∣t∣≥τ/2
K
=
B
/
τ
K=B/\tau
K=B/τ
B
B
B为信号带宽。
信号的瞬时频率
f
(
t
)
f(t)
f(t)为：
f
(
t
)
=
1
2
π
d
d
t
[
2
π
(
f
0
t
+
K
t
2
/
2
)
]
=
f
0
+
K
t
f(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{d}{dt}[2\pi(f_{0}t+Kt^2/2)]=f_{0}+Kt
f(t)=2π1dtd[2π(f0t+Kt2/2)]=f0+Kt
当
B
B
B=20MHz，
τ
\tau
τ=10
μ
s
\mu s
μs时，线性调频信号波形和频谱如下图所示：
还有一点不得不强调，LFM脉冲信号的带宽和时宽都是可以自己选择的，不像矩形脉冲信号那样带宽和时宽相互制约。
3、脉冲压缩
脉冲压缩的理论基础是匹配滤波。对雷达接收的回波信号进行脉冲压缩后有两个好处：增加信噪比；压缩信号宽度。
匹配滤波是一种最优滤波器，只要我们给予输入的是某一确知信号，并加上白噪声，那么就能让输出的信噪比达到最大。
将回波信号记为
f
(
t
)
f(t)
f(t)，设滤波器的传输函数为
H
(
w
)
H(w)
H(w)，则为了满足最大输出信噪比，
H
(
w
)
H(w)
H(w)的表达式为：
H
(
w
)
=
K
F
∗
e
−
j
w
t
0
H(w)=KF^*e^{-jwt_{0}}
H(w)=KF∗e−jwt0
上式中，
F
∗
F^*
F∗为
f
(
t
)
f(t)
f(t)傅里叶变换的共轭；
t
0
t_0
t0是物理器件的时间延时；
K
K
K为增益常数。
从时域角度看，匹配滤波器也可以用冲激函数
h
(
t
)
h(t)
h(t)来表示，则上式描述的滤波器冲击响应为：
h
(
t
)
=
K
f
∗
(
t
0
−
t
)
h(t)=Kf^*(t_0-t)
h(t)=Kf∗(t0−t)
脉冲压缩要在雷达后端接收机由数字信号处理器件完成，而在这个过程中，由于器件速度的限制，脉冲压缩的过程通常需要在零中频进行，此时，线性调频信号的表达式变为：
s
(
t
)
=
r
e
c
t
(
t
τ
)
e
j
π
K
t
2
s(t)=rect(\frac{t}{\tau})e^{j\pi Kt^{2}}
s(t)=rect(τt)ejπKt2少了初始频率
f
0
f_0
f0，从
h
(
t
)
h(t)
h(t)的表达式可以看出，如果不考虑器件延时
t
0
t_0
t0和增益常数
K
K
K，匹配滤波器的冲击响应是滤波器输入信号
f
(
t
)
f(t)
f(t)的共轭倒置，即：
h
(
t
)
=
f
∗
(
−
t
)
=
r
e
c
t
(
t
τ
)
e
−
j
π
K
t
2
h(t)=f^*(-t)=rect(\frac{t}{\tau})e^{-j\pi Kt^{2}}
h(t)=f∗(−t)=rect(τt)e−jπKt2滤波器输出可以由
f
(
t
)
、
h
(
t
)
f(t)、h(t)
f(t)、h(t)卷积得到，也可以由他们的傅里叶变换乘积再经过傅里叶反变换得到。在实际应用中，通过卷积直接做脉冲压缩的运算量很大。，更多是从频域角度来实现匹配滤波。
4、仿真
| 参数名称 | 参数值 |
|---|---|
| 带宽（B） | 20MHz |
| 脉冲宽度（tao） | 10e-6s |
| 脉冲重复间隔 （T） | 1e-4s |
| 采样频率（fs） | 20MHz |
| 目标1距离（R1） | 5000m |
| 目标2距离（R2） | 8000m |
| 目标3距离（R3） | 8300m |
| 目标4距离（R4） | 9500m |
得到回波如下图：
对回波进行脉冲压缩后的波形如下图：
可以看到，由于目标2、目标3和目标3相距较近，他们的回波信号由接收机接收后会混在一起，难以分辨，但是经过脉冲压缩后，可以很容易的分辨出来。
附上仿真程序：
clear;clc;close all
T = 1e-4; %最大探测距离 c*T/2=15000m
tao = 10e-6;
B = 20e6;
fs = 2*B;
c = 3e8; %光速
K = B/tao;
R = [5000 8000 9300 8500];
rcs = [0.2 0.5 0.3 0.35];
delay = 2*R./c;
t=-tao/2:1/fs:tao/2-1/fs;
x_linear=exp(1j*pi*(K.*(t.^2))); %发射信号
figure
subplot(211);plot(t,real(x_linear));title('时域波形')
X=fftshift(fft(x_linear));
f=linspace(0,fs,length(t))-fs/2;
subplot(212);plot(f,abs(X));title('频域')
tt = 0:1/fs:T-1/fs;
echo = zeros(1,length(tt));
for i = 1:length(R)
% 回波信号
echo = echo + randn(1,length(tt))*0.2 + ...
rcs(i)*rectpuls(tt-delay(i)-tao/2,tao).*exp(1j*pi*K*(tt-delay(i)-tao/2).^2);
end
figure;
plot(tt,real(echo));xlabel('time');title('回波')
h=exp(1j*pi*(K.*(t.^2))); %匹配滤波器冲击响应
output=ifft(conj(fft(h,length(echo))).*fft(echo,length(echo))); %h和echo做fft的长度要一样
figure;
subplot(211);plot(0:1/fs:T-1/fs,abs(output));title('脉冲压缩输出波形');xlabel('time');
subplot(212);plot((0:1/fs:T-1/fs)*c/2,db(abs(output)/max(abs(output))),'r');
title('脉压结果分贝图');ylabel('dB');xlabel('m');
相关内容：
SAR成像(零)：【总结】SAR成像原理和仿真实现
SAR成像(一)：线性调频信号(LFM)和脉冲压缩
SAR成像(二)：高方位向分辨率原理
SAR成像(三)：快时间与慢时间
SAR成像(四)：多普勒频移的计算
SAR成像(五)：回波模型
SAR成像(六)：距离徙动矫正
SAR成像(七)：RD成像算法
参考：
[1]陈小利. 合成孔径雷达成像研究[D].南京大学,2015.
[2]https://blog.csdn.net/weixin_45858061/article/details/102986993
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