平面方程的几种形式及推导过程（总结）

平面方程的基本定义三维空间中所有处于同一平面的点所对应的方程，任何一个平面都可以用三元一次方程来表示。确定一个平面需要的条件点法式：1、平面上的一个点；2、以该点为起点的法向量。标准式：1、平面上的一个点；2、两个不线且与平面平行的向量。三点式：1、三个不同时共线的点。注意：若已知三个点求平面方程，通常利用这三个点得出两...

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我的身前一尺是我的世界

55366人浏览 · 2020-05-05 22:24:01

我的身前一尺是我的世界 · 2020-05-05 22:24:01 发布

平面方程的基本定义

三维空间中所有处于同一平面的点所对应的方程，任何一个平面都可以用三元一次方程来表示。

平面方程表达式

	表达式	限定条件	特殊含义
一般式	Ax+By+Cz+D=0	A,B,C,D为已知常数，并且A,B,C不同时为零。	D=0时，该平面过原点， (A,B,C)是该平面的法向量。
点法式	A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0	A,B,C,D为已知常数，并且A,B,C不同时为零。	(A,B,C)是该平面的法向量，(x0,y0,z0)是该平面上的点。
截距式	x/a+y/b+z/c=1	若该平面在一个轴上没有截距，则这个平面平行于该轴，表达式为两元一次方程；若该平面在两个轴上没有截距，则这个平面平行于这两个轴，表达式为一元一次方程。	该平面过(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)，a,b,c依次称为该平面在x,y,z轴上的截距。
法线式	xcosα+ycosβ+zcosγ=p		p为原点到平面的距离，cosα、cosβ、cosγ是平面法向量的方向余弦。。

确定一个平面需要的条件

点法式：
    1、平面上的一个点；
    2、该平面的法向量。

标准式：
    1、平面上的一个点；
    2、两个不共线且与平面平行的向量。

三点式：
    1、三个不同时共线的点。

注意：若已知三个点求平面方程，通常利用这三个点得出两个向量，然后转化为点法式或标准式。

推导过程

	推导（因为输入法不便，向量上方箭头省略。）	备注
点法式	已知：一个平面过点M0(x0,y0,z0)，平面的法向量为n(A,B,C)，其中A、B、C不同时为0。证明：取平面内的一个点M(x,y,z),则n⊥MM0，即向量MM0(x-x0,y-y0,z-z0)与n内积等于0。 ⇒A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0。
一般式	三维空间中所有处于同一平面的点所对应的方程，任何一个平面都可以用三元一次方程来表示。
截距式	已知：一个平面过(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)三点。证明：设这个平面的方程为Ax+By+Cz+D=0，将三个点带入后得到A=-D/a,B=-D/b,C=-D/c，将ABC三个值分别带入到方程中，通过移项整理后，⇒x/a+y/b+z/c=1
法线式	略。