题型1：正规表达式构造NFA

1．构造正规表达式a(aa)*bb(bb)*a(aa)* 的NFA(非确定有限自动机)。

解

2.对正规式(a|b)*abb构造其等价的NFA。

解

3．构造正规表达式((a|b)*|aa)*b的NFA。

解:

题型二：NFA转换为DFA

4.设M=( {x,y}, {a,b}, f, x, {y} )为一NFA(非确定的有限自动机)，其中f定义如下：

           f(x,a)={x,y}       	f{x,b}={y}
           f(y,a)=Φ         	f{y,b}={x,y}
试构造相应的确定有限自动机M′。
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解：

1）对照确定有限自动机的定义M=(S,Σ,f,So,Z)，

• S是一个有限状态集，他的每一个元素称为状态
• Σ是一个又穷输入字母表他的每一个元素称为一个输入字符
• f是一个从S*Σ到S的单值映射，即f(si,a)=sj,且有si,sj属于S和a属于Σ
• S0是初态
• Z是终态集

由f的定义可知f(x,a)、f(y,b)均为多值函数，不满足定义，因此M是一非确定有限自动机。

2）先画出NFA M相应的状态图，如下图所示。
由M=( {x,y}, {a,b}, f, x, {y} )可知初态是x,终态是y
f(x,a)={x,y} ---------- 表示x接收a字符到x，y
f{x,b}={y} ---------- 表示x接收b字符到y
f(y,a)=Φ ---------- 表示y接收a字符到空
f{y,b}={x,y} ---------- 表示y接收b字符到x，y

3）用子集法构造状态转换矩阵，如下表所示。

4）将转换矩阵中的所有子集重新命名，形成下表所示的状态转换矩阵，即得到

5）M′=({0,1,2},{a,b},f,0,{1,2})，M′状态转换图如下图所示。

5.将下图所示的非确定有限自动机(NFA)变换成等价的确定有限自动机(DFA)。其中，X为初态，Y为终态。

解

用子集法将NFA确定化，如图所示。

确定化的DFA如下图所示：

题型三：DFA最小化

6．将以下DFA（确定有限自动机） 最小化

解：

1）将状态分解为

• 终态集{Y}
• 非终态集{X,1,2}

2）考察非终态集{X,1,2}接收a字符

• X接收a字符到1 （1属于非终态集）
• 1不接收字符
• 2接收a字符到1 （1属于非终态集）

故将非终态集{X,1,2}，分为{X,2}，{1}

3）考察{X,2}接收b字符

• X接收不接受b
• 2接收不接受b

4)按顺序重新命名状态子集{X,2}，{1}，{Y}为0，1，2得到状态转换矩阵

5）根据状态转换矩阵绘制化简后的状态转换图

7.将下图所示的确定有限自动机(DFA)最小化。其中，X为初态，Y为终态。

解

先划分为终态集{Y}和非终态集I={X,1,2,3}
X面对输入符号b时下一状态属于I，而1,2,3面对输入符号b时下一状态属于{Y}，故划分为{X}、{1,2,3}
非终态2和非终态3面对输入符号a的下一状态相同，而1不同，即最简状态{X}、{1}、{2，3}、{Y}。按顺序重新命名为0、1、2、3，则得到最简DFA，

8.将下图的DFA最小化。

解

初始划分：II={{0，1，2}，{3，4}}（1分）
（1）考查{0，1，2}，1和2接受a，b后都转向相同的状态，且接受b后转向终态，而0接受b后转向非终态2，所以0与1，2可分，IInew={{0}，{1，2}，{3，4}}(1分)
（2）考查{3，4}，接受a，b后都转向相同的状态，所以3，4不可分。IInew={{0}，{1，2}，{3，4}}（1分）
将1，2合并用1代表，3，4合并用3代表，最终的最小化DFA如下：

题型四：正规表达式求DFA

9.构造正规表达式a(aa)*bb(bb)*a 的最小化的确定有限自动机M′。

解：

先画出正规式相应的NFA M状态图，如下图所示。

用子集法构造状态转换矩阵，如下表所示。

观察状态转换矩阵，发现I中含有Y的为终态集，则：
将状态分为终态集{Y}和非终态集{X,1,2,3,4,5}
非终态集{X,1,2,3,4,5}
X接收a字符到1 1属于非终态集
1接收a字符到2 2属于非终态集
2接收a字符到1 1属于非终态集
3接收a字符到-
4接收a字符到Y
5接收a字符到-
所以非终态集分为{X,1,2},{3,5},{4}
X接收b字符到-
1接收b字符到3
2接收b字符到-
因为{X,1,2}b={,3,},所以分为{X,2},{1},
3接收b字符到4
5接收b字符到4
最后得到集合{X,2},{1},{3,5},{4},{Y}重新命名为1，2，3，4，5得到最小化的DFA M′状态转换矩阵和状态转换图如下图所示。

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