原理

SVM被提出于1964年，在二十世纪90年代后得到快速发展并衍生出一系列改进和扩展算法，在人像识别、文本分类等模式识别（pattern recognition）问题中有得到应用。

支持向量机（Support Vector Machine, SVM）是一类按监督学习（supervised learning） 方式对数据进行二元分类的广义线性分类器（generalized linear classifier），其决策边界是对学习样本求解的最大边距超平面（maximum-margin hyperplane）

SVM可以通过核方法（kernel method）进行非线性分类，是常见的核学习（kernel learning）方法之一。

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分类理论

在分类问题中给定输入数据和学习目标：X = { X1, X2,…Xn }，Y = { y1,y2,…yn}。其中输入数据的每个样本都包含多个特征并由此构成特征空间（feature space）：Xi = { x1,x2…xn} ，而学习目标为二元变量 y { − 1 , 1 } y\{-1,1\} y{−1,1}表示负类（negative class）和正类（positive class）。

若输入数据所在的特征空间存在作为决策边界（decision boundary）的超平面将学习目标按正类和负类分开，并使任意样本的点到平面距离大于等于1,则称该分类问题具有线性可分性，参数 w，b分别为超平面的法向量和截距。

满足该条件的决策边界实际上构造了2个平行的超平面作为间隔边界以判别样本的分类：

所有在上间隔边界上方的样本属于正类，在下间隔边界下方的样本属于负类。两个间隔边界的距离 $d=\frac{2}{\Vert w\Vert }$被定义为边距（margin），位于间隔边界上的正类和负类样本为支持向量（support vector）。

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确定最大间距

我们确定一个分类器，对任意的实数，当$w^{T}x+b>1，y_i=1；w^{T}x+b<-1，y_i=-1$。有了分类器，那么我们的目标就是找到最小间隔的数据点，然后将其最大化并求出参数w,b。
这就可以写作：$argma{x}_{w,b}mi{n}_n(label\cdot (w^T+b))\cdot \frac{1}{||w||}$。
很显然$label\cdot (w^T{x}_i+b)⩾1,i=1,2,...,m，$为了最大化间隔只需要最大化$||w|{|}^{-1}$。等价于最小化$||w|{|}^2$。
因此支持向量机的形式可表示如下：
1、$mi{n}_{w,b}\frac{1}{2}||w|{|}^2$
2、$s.t.y_i(w^T{x}_i+b)⩾1,i=1,2,...,m.$
最后问题变成了凸二次规划的问题，可解。

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SVM多分类

SVM算法最初是为二值分类问题设计的，当处理多类问题时，就需要构造合适的多类分类器。目前，构造SVM多类分类器的方法主要有两类：一类是直接法，直接在目标函数上进行修改，将多个分类面的参数求解合并到一个最优化问题中，通过求解该最优化问题“一次性”实现多类分类。这种方法看似简单，但其计算复杂度比较高，实现起来比较困难，只适合用于小型问题中；另一类是间接法，主要是通过组合多个二分类器来实现多分类器的构造，常见的方法有one-against-one和one-against-all两种。

a.一对多法（one-versus-rest,简称1-v-r-SVMs）。训练时依次把某个类别的样本归为一类,其他剩余的样本归为另一类，这样k个类别的样本就构造出了k个SVM。分类时将未知样本分类为具有最大分类函数值的那类。

b.一对一法（one-versus-one,简称1-v-1 SVMs）。其做法是在任意两类样本之间设计一个SVM，因此k个类别的样本就需要设计k(k-1)/2个SVM。当对一个未知样本进行分类时，最后得票最多的类别即为该未知样本的类别。Libsvm中的多类分类就是根据这个方法实现的。

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Python实现

多分类

  	X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(feature, label, test_size=.2,random_state=0)
    # 训练模型
    model = OneVsRestClassifier(svm.SVC(kernel='linear',probability=True,random_state=random_state))
    print("[INFO] Successfully initialize a new model !")
    print("[INFO] Training the model…… ")
    clt = model.fit(X_train,y_train)
    print("[INFO] Model training completed !")
    # 保存训练好的模型，下次使用时直接加载就可以了
    joblib.dump(clt,"F:/python/model/conv_19_80%.pkl")
    print("[INFO] Model has been saved !")
  
    y_test_pred = clt.predict(X_test)
    ov_acc = metrics.accuracy_score(y_test_pred,y_test)
    print("overall accuracy: %f"%(ov_acc))
    print("===========================================")
    acc_for_each_class = metrics.precision_score(y_test,y_test_pred,average=None)
    print("acc_for_each_class:\n",acc_for_each_class)
    print("===========================================")
    avg_acc = np.mean(acc_for_each_class)
    print("average accuracy:%f"%(avg_acc))

二分类

>>> import numpy as np
>>> X = np.array([[-1, -1], [-2, -1], [1, 1], [2, 1]])
>>> y = np.array([1, 1, 2, 2])
>>> from sklearn.svm import SVC
>>> clf = SVC()
>>> clf.fit(X, y) 
SVC(C=1.0, cache_size=200, class_weight=None, coef0=0.0,
    decision_function_shape='ovr', degree=3, gamma='auto', kernel='rbf',
    max_iter=-1, probability=False, random_state=None, shrinking=True,
    tol=0.001, verbose=False)
>>> print(clf.predict([[-0.8, -1]]))
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