深度学习基础 - 累加符号和连乘符号

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累加符号（∑）

累加符号（∑）是一个大写的希腊字母“sigma”（Σ），代表“S”（Sum，总和的意思）。它被用来表示一系列项的总和。累加符号的起源
累加符号最初是由17世纪的法国数学家皮埃尔-德·费马（Pierre de Fermat）和布莱兹·帕斯卡（Blaise Pascal）引入的。然而，现在的累加符号形式是由18世纪的瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）在1755年的著作中正式采用的。累加符号 其他名字 Sigma Notation 、Summation Notation。

一般形式

累加符号的一般形式如下：
$$\sum _{i=m}^n{a}_i$$
这里：
$\sum$ 表示累加符号。
$i$ 是累加索引，它从 $m$ 到 $n$ 逐个取值。
$a_i$ 表示第 $i$ 项。

这个表达式的含义是：
$$\sum _{i=m}^n{a}_i=a_m+a_{m+1}+\cdots +a_{n-1}+a_n$$

就是
$$\begin{array}{rlr}& \sum _{i=1}^{5}i& =1+2+3+4+5\end{array}$$

示例 1

假设我们有一个数列 $a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n$，其中 $a_i=i^2$（即每一项是其索引的平方）。如果我们想计算从 $i=1$ 到 $i=5$ 的累加和，可以写作：
$$\sum _{i=1}^5{i}^2=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2=1+4+9+16+25=55$$

示例2

$$\begin{array}{rlr}& \sum _{i=3}^{7}i& =3+4+5+6+7\end{array}$$

示例3

$$\begin{array}{rl}& \sum _{i=2}^{5}2i\\ & =2(2)+2(3)+2(4)+2(5)\\ & =4+6+8+10\end{array}$$

示例4

$$\begin{array}{rlr}& \sum _{j=1}^{4}jx& =1x+2x+3x+4x\end{array}$$

示例5

$$\begin{array}{rl}& \sum _{i=1}^2\sum _{j=4}^6(3ij)\\ & =\sum _{i=1}^2(3i\cdot 4+3i\cdot 5+3i\cdot 6)\\ & =(3\cdot 1\cdot 4+3\cdot 1\cdot 5+3\cdot 1\cdot 6)+(3\cdot 2\cdot 4+3\cdot 2\cdot 5+3\cdot 2\cdot 6)\end{array}$$

示例6

$$\sum _{k=1}^{\infty }(k+1{)}^3=2^3+3^3+\cdots n^3+\cdots$$

连乘符号（∏）

连乘符号（∏）是一个大写的希腊字母“pi”（Π），代表“P”（Product，乘积的意思）。它被用来表示一系列项的乘积。连乘符号 其他名字 Pi Notation、Product Notation。连乘符号的起源可以追溯到18世纪的数学家莱昂哈德·欧拉。他在1755年的著作中引入了连乘符号，以简洁地表示乘积的形式。

一般形式

连乘符号的一般形式如下：
$$\prod _{i=m}^n{a}_i$$
这里：
$\prod$ 表示连乘符号。
$i$ 是连乘索引，它从 $m$ 到 $n$ 逐个取值。
$a_i$ 表示第 $i$ 项。

这个表达式的含义是：
$$\prod _{i=m}^n{a}_i=a_m\cdot a_{m+1}\cdot \dots \cdot a_{n-1}\cdot a_n$$

假设我们有一个数列 $a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n$，其中 $a_i=i$（即每一项是其索引）。如果我们想计算从 $i=1$ 到 $i=5$ 的连乘积，我们可以写作：
${\prod }_{i=1}^{5}i=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120$

这个例子实际上是计算了5的阶乘（$5!$）。

示例1

$$\begin{array}{rlr}& \prod _{i=3}^{7}i& =(3)(4)(5)(6)(7)\end{array}$$

示例2

$$\prod _{i=1}^6{i}^2=(1)(4)(9)(16)(25)(36)$$

示例3

$$\begin{array}{rl}& \prod _{i=1}^2\prod _{j=4}^6(3ij)\\ & =\prod _{i=1}^2((3i\cdot 4)(3i\cdot 5)(3i\cdot 6))\\ & =((3\cdot 1\cdot 4)(3\cdot 1\cdot 5)(3\cdot 1\cdot 6))((3\cdot 2\cdot 4)(3\cdot 2\cdot 5)(3\cdot 2\cdot 6))\end{array}$$