[Matlab]巴特沃夫滤波器设计：低通、高通、带通和带阻-------（1）

​ 巴特沃斯滤波器（Butterworth filter）称作最大平坦滤波器。巴特沃斯滤波器的特点是通频带内的频率响应曲线最大限度平坦，没有纹波，而在阻频带则逐渐下降为零。

​ 巴特沃斯滤波器的特点是通频带内的频率响应曲线最大限度平坦，没有起伏，而在阻频带则逐渐下降为零。 在振幅的对数对角频率的波特图上，从某一边界角频率开始，振幅随着角频率的增加而逐步减少,趋向负无穷大。

巴特沃斯滤波器优点:

​ 巴特沃斯滤波器的特点是通频带内的频率响应曲线最大限度平坦，没有起伏，而在阻频带则逐渐下降为零。在振幅的对数对角频率的波得图上，从某一边界角频率开始，振幅随着角频率的增加而逐渐减少，趋向负无穷大。

​ 一阶巴特沃斯滤波器的衰减率为每倍频6分贝，每十倍频20分贝。二阶巴特沃斯滤波器的衰减率为每倍频12分贝，三阶巴特沃斯滤波器的衰减率为每倍频18分贝，如此类推。巴特沃斯滤波器的振幅对角频率单调下降，并且也是唯一的无论阶数、振幅对角频率曲线都保持同样的形状的滤波器。只不过滤波器阶数越高，在阻频带振幅衰减速度越快。其他滤波器高阶的振幅对角频率图和低级数的振幅对角频率有不同的形状。

巴特沃斯滤波器缺点:

​ 巴特沃斯滤波器是滤波器的一种设计分类，类同于切比雪夫滤波器，它有高通，低通，带通，高通，带阻等多种滤波器。它在通频带内外都有平稳的幅频特性，但有较长的过渡带，在过渡带上很容易造成失真，在调用MATLAB里的巴特沃斯滤波器做仿真时，信号总会在第一个周期略微有些失真。但往后的幅频特性就非常的好。

与其它滤波器比较

​ 下图是巴特沃斯滤波器（左上）和同阶第一类切比雪夫滤波器（右上）、第二类切比雪夫滤波器（左下）、椭圆函数滤波器（右下）的频率响应图。

原始信号设定：

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  ButterWorthFilter.m
%  巴特沃夫滤波器的设计
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
clear;
close all;
clc;
 
fs = 1000; %Hz 采样频率
Ts = 1/fs;
N  = 1000; %序列长度
t = (0:N-1)*Ts;
delta_f = 1*fs/N;
f1 = 50;
f2 = 100;
f3 = 200;
f4 = 400;
x1 = 2*0.5*sin(2*pi*f1*t);
x2 = 2*0.2*sin(2*pi*f2*t);
x3 = 2*0.3*sin(2*pi*f3*t);
x4 = 2*0.6*sin(2*pi*f4*t);
x = x1 + x2 + x3 + x4; %待处理信号由四个分量组成
 
X = fftshift(abs(fft(x)))/N;
X_angle = fftshift(angle(fft(x)));
f = (-N/2:N/2-1)*delta_f;
 
figure(1);
subplot(3,1,1);
plot(t,x);
title('原信号');
subplot(3,1,2);
plot(f,X);
grid on;
title('原信号频谱幅度特性');
subplot(3,1,3);
plot(f,X_angle);
title('原信号频谱相位特性');
grid on;

低通滤波器：

%设计一个巴特沃夫低通滤波器,要求把50Hz的频率分量保留,其他分量滤掉
wp = 65/(fs/2);  %通带截止频率,取50~100中间的值,并对其归一化
ws = 85/(fs/2);  %阻带截止频率,取50~100中间的值,并对其归一化
alpha_p = 3; %通带允许最大衰减为  db
alpha_s = 20;%阻带允许最小衰减为  db
%获取阶数和截止频率
[ N1 wc1 ] = buttord( wp , ws , alpha_p , alpha_s);
%获得转移函数系数
[ b a ] = butter(N1,wc1,'low');
%滤波
filter_lp_s = filter(b,a,x);
X_lp_s = fftshift(abs(fft(filter_lp_s)))/N;
X_lp_s_angle = fftshift(angle(fft(filter_lp_s)));
figure(2);
freqz(b,a); %滤波器频谱特性
figure(3);
subplot(3,1,1);
plot(t,filter_lp_s);
grid on;
title('低通滤波后时域图形');
subplot(3,1,2);
plot(f,X_lp_s);
title('低通滤波后频域幅度特性');
subplot(3,1,3);
plot(f,X_lp_s_angle);
title('低通滤波后频域相位特性');

高通滤波器：

%设计一个高通滤波器,要求把400Hz的频率分量保留,其他分量滤掉
wp = 350/(fs/2);  %通带截止频率,取200~400中间的值,并对其归一化
ws = 380/(fs/2);  %阻带截止频率,取200~400中间的值,并对其归一化
alpha_p = 3; %通带允许最大衰减为  db
alpha_s = 20;%阻带允许最小衰减为  db
%获取阶数和截止频率
[ N2 wc2 ] = buttord( wp , ws , alpha_p , alpha_s);
%获得转移函数系数
[ b a ] = butter(N2,wc2,'high');
%滤波
filter_hp_s = filter(b,a,x);
X_hp_s = fftshift(abs(fft(filter_hp_s)))/N;
X_hp_s_angle = fftshift(angle(fft(filter_hp_s)));
figure(4);
freqz(b,a); %滤波器频谱特性
figure(5);
subplot(3,1,1);
plot(t,filter_hp_s);
grid on;
title('高通滤波后时域图形');
subplot(3,1,2);
plot(f,X_hp_s);
title('高通滤波后频域幅度特性');
subplot(3,1,3);
plot(f,X_hp_s_angle);
title('高通滤波后频域相位特性');

带通滤波器：

%设计一个带通滤波器,要求把50Hz和400Hz的频率分量滤掉,其他分量保留
wp = [65 385 ] / (fs/2);  %通带截止频率,50~100、200~400中间各取一个值,并对其归一化
ws = [75 375 ] / (fs/2);  %阻带截止频率,50~100、200~400中间各取一个值,并对其归一化
alpha_p = 3; %通带允许最大衰减为  db
alpha_s = 20;%阻带允许最小衰减为  db
%获取阶数和截止频率
[ N3 wn ] = buttord( wp , ws , alpha_p , alpha_s);
%获得转移函数系数
[ b a ] = butter(N3,wn,'bandpass');
%滤波
filter_bp_s = filter(b,a,x);
X_bp_s = fftshift(abs(fft(filter_bp_s)))/N;
X_bp_s_angle = fftshift(angle(fft(filter_bp_s)));
figure(6);
freqz(b,a); %滤波器频谱特性
figure(7);
subplot(3,1,1);
plot(t,filter_bp_s);
grid on;
title('带通滤波后时域图形');
subplot(3,1,2);
plot(f,X_bp_s);
title('带通滤波后频域幅度特性');
subplot(3,1,3);
plot(f,X_bp_s_angle);
title('带通滤波后频域相位特性');

带阻滤波器：

%设计一个带阻滤波器,要求把50Hz和400Hz的频率分量保留,其他分量滤掉
wp = [65 385 ] / (fs/2);  %通带截止频率?,50~100、200~400中间各取一个值,并对其归一化
ws = [75 375 ] / (fs/2);  %阻带截止频率?,50~100、200~400中间各取一个值,并对其归一化
alpha_p = 3; %通带允许最大衰减为  db
alpha_s = 20;%阻带允许最小衰减为  db
%获取阶数和截止频率
[ N4 wn ] = buttord( wp , ws , alpha_p , alpha_s);
%获得转移函数系数
[ b a ] = butter(N4,wn,'stop');
%滤波
filter_bs_s = filter(b,a,x);
X_bs_s = fftshift(abs(fft(filter_bs_s)))/N;
X_bs_s_angle = fftshift(angle(fft(filter_bs_s)));
figure(8);
freqz(b,a); %滤波器频谱特性
figure(9);
subplot(3,1,1);
plot(t,filter_bs_s);
grid on;
title('带阻滤波后时域图形');
subplot(3,1,2);
plot(f,X_bs_s);
title('带阻滤波后频域幅度特性');
subplot(3,1,3);
plot(f,X_bs_s_angle);
title('带阻滤波后频域相位特性');