控制论大题速成| 02 时域分析

lalplace的性质

1. 简单laplce变化对儿

原函数	像函数
$$t^n$$	$$\frac{n！}{s^{n+1}}$$
$$\sin \omega t$$	$$\frac{\omega }{s^2+{\omega }^2}$$
$$\cos \omega t$$	$$\frac{s}{s^2+{\omega }^2}$$
$$e^{-at}f(t)$$	$$F(s+a)$$
$$f(t-\tau )$$	$$e^{-\tau s}F(s)$$

2. Laplace性质

初值定理

$$\underset{t\to +\infty }{\lim }f(t)=\underset{s\to 0}{\lim }sF(s)$$
终值定理

$$\underset{t\to 0^{+}}{\lim }f(t)=\underset{s\to +\infty }{\lim }sF(s)$$

基础知识

$$y(t)=\stackrel{\text{自由响应}}{\overbrace{\sum _{i=1}^n{A}_{1i}{e}^{s_{i}t}+\sum _{i=1}^n{A}_{2i}{e}^{s_{i}t}}}+\stackrel{\text{强迫响应}}{\overbrace{B(t)}}$$
$$\underset{\text{零输入响应}}{\underbrace{\sum _{i=1}^n{A}_{1i}{e}^{s_{i}t}}}+\underset{\text{零状态响应}}{\underbrace{\sum _{i=1}^n{A}_{2i}{e}^{s_{i}t}+B(t)}}$$

系统的固有特性由阶次$n$和特征根$s_i$决定，其稳定的充要条件是所有的特征根实部为负数。特征根对自由响应的影响:

1. 特征根的实部影响自由响应项的收敛性

• 若所有特征根均具有负实部，则系统自由响应收敛（系统稳定）
• 若存在特征根的实部为正，则系统自由响应发散（系统不稳定）
• 若存在特征根的实部为零，其余实部为负，则系统的自由响应等幅振荡（系统临界稳定）

2. 特征根的虚部影响自由响应项的振荡性
   虚部绝对值越大，自由响应项的振荡越剧烈。

示例

一阶系统的时域分析

$$X_i(s)=\frac{1}{s}$$

那么就有：

$$\begin{array}{rl}{x}_o(t)& ={\mathcal{L}}^{-1}\left[\frac{1}{Ts+1}\frac{1}{s}\right]\\ & ={\mathcal{L}}^{-1}\left[-\frac{T}{Ts+1}+\frac{1}{s}\right]\\ & ={\mathcal{L}}^{-1}\left[-\frac{T}{Ts+1}\right]+{\mathcal{L}}^{-1}\left[\frac{1}{s}\right]\\ & ={\mathcal{L}}^{-1}\left[-\frac{1}{s+\frac{1}{T}}\right]+{\mathcal{L}}^{-1}\left[\frac{1}{s}\right]\\ & =-e^{-\frac{t}{T}}+1\end{array}$$

对于一阶惯性系统，其时间常数为：

$$T$$

时间常数反映的是系统的固有特性，系统的时间常数越大，惯性越小，响应的快速性越高。

计算：

$$X_i(s)=\sin \omega t$$

那么，我们就有：

$$\begin{array}{rl}{x}_o(t)& ={\mathcal{L}}^{-1}\left[\frac{1}{Ts+1}\cdot \frac{\omega }{s^2+{\omega }^2}\right]\\ & ={\mathcal{L}}^{-1}\left[\frac{-\frac{T}{1+(T\omega {)}^2}s}{s^2+{\omega }^2}+\frac{-\frac{1}{1+(T\omega {)}^2}\omega }{s^2+{\omega }^2}+\frac{\frac{\omega T^2}{1+(T\omega {)}^2}}{Ts+1}\right]\\ & =-\frac{T}{1+(T\omega {)}^2}{\mathcal{L}}^{-1}\left[\frac{s}{s^2+{\omega }^2}\right]-\frac{1}{1+(T\omega {)}^2}{\mathcal{L}}^{-1}\left[\frac{\omega }{s^2+{\omega }^2}\right]+\frac{\omega T^2}{1+(T\omega {)}^2}{\mathcal{L}}^{-1}\left[\frac{1}{Ts+1}\right]\\ & =-\frac{T}{1+(T\omega {)}^2}\cos (\omega t)-\frac{1}{1+(T\omega {)}^2}\sin (\omega t)+\frac{\omega T}{1+(T\omega {)}^2}{e}^{-\frac{t}{T}}\end{array}$$

二阶系统的时域分析

类似地，我们这里着重强调二阶系统的性能指标：

$$t_r=\frac{\pi -\beta }{{\omega }_d}$$

$$t_p=\frac{\pi }{{\omega }_d}$$

$$M_p=\frac{x(t_p)-x_o(\infty )}{x_o(\infty )}=e^{-\frac{\pi }{\tan \beta }}$$

衰减时间

$$\sigma =\frac{1}{\zeta {\omega }_n}$$

调整时间

$$t_s=4\sigma ,\Delta =2\%$$
$$t_s=3\sigma ,\Delta =5\%$$

高阶系统的时域分析

找主导极点，将其视为二阶系统一对共轭复数极点进行进行近似处理：距虚轴最近、实部的绝对值为其它极
点实部绝对值的1/5或更小，且其附近没有零点的闭环极点。

偏差与误差

偏差定义为：

$$\epsilon (t)=x_i(t)-b(t)$$

误差定义为：
$$e(t)=x_{or}(t)-x_o(t)$$

推导误差与偏差的关系

$$E(s)=X_i(s)-H(s)X_o(s)$$

当无偏差时，系统为期望输出：

$$X_{or}(s)=X_o(s),E(s)=0$$

所以：

$$H(s)X_{or}(s)=X_i(s)$$

则有：
$$E_1(s)=H(s)E(s)$$

推导有干扰情况下的误差和偏差

$$E_1(s)=X_{or}(s)-X_o(s)=\frac{X_i(s)}{H(s)}-\left(X_{o{X}_i}(s)+X_{oN}(s)\right)$$

稳态偏差与偏差系数

首先，偏差与输入之间的放大函数为：

$$\frac{1}{1+G(s)H(s)}$$

考虑最小相位系统：

$$G_K(s)=G(s)H(s)=\frac{K\prod (1+\tau s)}{s^{\nu }\prod (1+Ts)}$$

$${\epsilon }_{ss}=\underset{s\to 0}{\lim }\frac{s^{\nu +1}}{s^{\nu }+K}{X}_i(s)$$

无偏系数记为

$$K_{\nu }=\underset{s\to 0}{\lim }{s}^{\nu }G(s)H(s)$$

例题

例1 已知某一阶系统的单位阶跃响应曲线如下，求该系统的传递函数$G(s)$。

解

注意它只说是一阶系统，所用用一阶微分方程描述的系统都叫一阶系统，而非只有惯性环节

$$x_o(t)=K(1-e^{\frac{t}{T}})$$

或者：

$$x_o^{\prime }(0)=\underset{s\to \infty }{\lim }\frac{Ks}{Ts+1}$$

$$x_o(\infty )=5=\underset{s\to 0}{\lim }\frac{K}{Ts+1}$$

例2
如图(a)所示的机械系统，在质块$m $上施加，$x_i(t)=8.9\text{N} $阶跃力后，$m $的时间响应$x_o(t) $如图(b)所示，试求系统的$m $、$k $和$c $值。

解

由于比例环节只对输出的稳态值有影响，由此：

$$M_p=e^{-\frac{\pi }{\tan \beta }}=\frac{0.0029}{0.03}\Rightarrow \zeta$$

$$t_r=\frac{\pi }{{\omega }_d}\to {\omega }_n$$

$$\underset{s\to 0}{\lim }\frac{s}{m{s}^2+cs+k}\frac{8.9}{s}=0.03$$

例3
有一位置随动系统，其方框图如下图(a)所示。当系统输入单位阶跃函数时，$M_p\le 5\%$，试

（1）校核该系统的各参数是否满足要求；

（2）在(a)系统中增加一微分负反馈，如图(b)示，求其时间常数$\tau$。

解

设前向通道的传递函数为：

$$G(s)$$

反馈增益为：

$$H(s)$$

闭环传递函数为：

$$G_B(s)=\frac{G(s)}{1-H(s)}$$

再有：

$$M_p=e^{-\frac{\pi }{\tan \beta }}\le 5\%$$

例4 已知某单位反馈系统 $G_K(s)=\frac{12(s+1)}{s^2(s+4)}$，试求在参考输入 $x_i(t)=4+6t+3t^2$ 作用下系统的稳态误差。

解

$$\underset{s\to 0}{\lim }{G}_K(s)=\infty$$
$$\underset{s\to 0}{\lim }s{G}_K(s)=\infty$$
$$\underset{s\to 0}{\lim }{s}^2{G}_K(s)=3$$

$$e_{ss}={\epsilon }_{ss}=\frac{a_0}{1+\infty }+\frac{a_1}{\infty }+\frac{a_2}{3}=2$$

另外的解法

$$K=\underset{s\to 0}{\lim }{G}_k(s)$$

$$\nu =开环传递函数的积分环节$$

例5

系统方框图如下图，求当$x_i(t)=n(t)=1(t)$时，系统的$e_{\text{ss}}$。

解

$E(s)$与$X_i(s)$之间的放大函数：

$$E(s)=X_i(s)-B(s)=X_i(s)-\frac{10}{s+10}{X}_i(s)-\frac{\frac{10}{s}}{1+\frac{10}{s}}N(s)$$

对于单位负反馈:

$${\epsilon }_{ss}=\underset{s\to 0}{\lim }s\left(X_i(s)-\frac{10}{s+10}{X}_i(s)-\frac{\frac{10}{s}}{1+\frac{10}{s}}N(s)\right)=-1$$

另外的解法

叠加定理：

[
\varepsilon_{\text{ss}} = \varepsilon_{\text{ss}X} + \varepsilon{\text{ss}_N}
]

• 对于输入( x_i(t)=1(t) )，系统为Ⅰ型系统，位置误差系数( K_p = \infty )，因此：
  [
  \varepsilon_{\text{ss}_X} = \frac{1}{1+K_p} = \frac{1}{1+\infty} = 0
  ]

• 计算扰动引起的稳态误差( \varepsilon_{\text{ss}N} )，由终值定理：
  [
  \varepsilon{\text{ss}N} = \lim{s \to 0} s \cdot \frac{-\frac{10}{s}}{1+\frac{10}{s}} \cdot \frac{1}{s} = \lim_{s \to 0} \frac{-10}{s+10} = -1
  ]

• 因( H(s)=1 )，故系统稳态误差：
  [
  e_{\text{ss}} = \varepsilon_{\text{ss}} = \varepsilon_{\text{ss}X} + \varepsilon{\text{ss}_N} = -1
  ]