移动边缘计算网络中的寿命最大化

萨比亚萨奇·古普塔，雅各布·查卡雷斯基，IEEE高级会员

摘要

移动边缘计算作为一种有前景的技术，可增强移动设备的计算能力。对于一个用户周期性地在边缘云帮助下完成任务计算的多用户网络，我们基于当前用户任务信息研究了网络寿命最大化问题。为此，我们采用最小能效最大化（MEEM）策略，联合优化卸载到云端的用户任务计算比例以及用户间的边缘计算和网络通信资源分配。我们还研究了当所有未来时隙的用户任务信息均可用时的网络寿命最大化问题，该情形为MEEM策略提供了上界。两种策略的最优解通过可行性测试和几何规划方法进行建模求解。结果表明，与最先进方法相比，MEEM可实现70%寿命提升，相较于仅进行本地用户任务计算的情形可实现460%寿命提升。此外，当用户计算任务的最大可容忍延迟较高时，MEEM能够达到全局最优网络寿命性能。最后，相对于最先进方法，MEEM在多样化网络拓扑下的可实现网络寿命波动减少了3倍。

索引术语 —移动边缘计算，能源效率，寿命最大化，资源分配。

I. 引言

随着移动设备在过去十年中变得极为普及，许多新应用（如虚拟现实、自然语言处理、交互式游戏、语音转文本、图像处理）不断涌现并受到广泛关注。由于这些应用对高可靠性、密集计算和低延迟的要求，移动边缘计算（MEC）的概念应运而生[2]。在基于MEC的系统中，小规模的云计算设施位于泛在无线接入网络边缘，靠近移动用户[2]。

A. 动机

本文研究了计算任务共享与计算及通信资源分配的联合优化问题
移动边缘计算网络，旨在最大化其网络寿命。据我们所知，此前尚未有研究探讨此类网络的寿命最大化问题。特别是，尽管已有研究考察了移动边缘计算网络中的能源效率，但在分配此类网络中的计算和通信资源时，并未考虑无线节点的剩余电池能量信息[2–11]。因此，这些研究可能无法有效实现良好的（较长的）网络寿命。本工作的动机基于以下观察：

• 为了提高由电池供电的节点所组成的网络的寿命，需要根据用户设备的剩余电池电量来做出通信和计算资源分配的决策。例如，对于剩余电池电量较低且有待完成的计算密集型任务的节点，应为其分配较高的通信和边缘云计算资源，以便其能够以较低的能耗完成计算任务。
• 解决网络寿命最大化问题需要获取所有未来时隙的用户任务信息，这一点将在后文展示。然而，用户在未来时隙的任务信息可能无法获得。因此，设计一种仅基于当前时隙的用户任务信息以及用户当前剩余电池能量信息进行操作的资源分配策略至关重要。

B. 贡献

我们研究的场景如图1所示。为了最大化网络寿命，我们研究了用户与边缘云之间的计算共享以及为每个用户分配通信和边缘计算资源的联合优化。网络的寿命定义为：在此时间区间内，每个用户都能在其最大可容忍延迟内完成任务计算，且没有任何用户的设备电池能量耗尽。我们的主要贡献如下：

• 为了仅基于当前时隙的用户任务信息最大化网络寿命，我们探索了一种最小能效最大化（MEEM）策略，用于联合优化卸载到云端的用户任务计算比例以及用户间的边缘计算和网络通信资源分配。
• 当未来用户任务信息可用时，我们最优地求解网络寿命最大化问题。此设定是MEEM的上界。此外，当每个时隙所有用户的任务特征相同时，获得了最优网络寿命的一个上界。
• 我们利用可行性测试和几何规划来制定所提出策略的最优解。我们还讨论了MEEM策略的集中式实现。
• 我们表明，MEEM相较于本地计算方案在网络寿命上实现了显著提升（460%）。此外，我们将所提出的策略与以下最先进的方法进行比较：i) 最小化用户的总能耗，以及ii) 最小化用户间的最大能耗，并表明与这些方法相比，我们所提出的策略在网络寿命上可实现50‐70%的提升。
• 我们表明，与最先进方法相比，MEEM在多样化网络拓扑下的启用网络寿命变化率显著降低了3倍。

C. 相关工作

由于无线设备的电池能量有限，能源效率是协作无线网络设计中的一个关键参数。迄今为止，已有大量研究致力于探讨如何最大化此类网络的寿命[12–22]。文献[12–19]研究了单用户协作网络中通过功率分配和中继选择实现网络寿命最大化的方案。研究表明，在决定发射功率控制、中继选择和信道分配时，必须考虑无线节点的剩余电池能量信息，以提高整体网络寿命[19]。对于多用户协作网络，Himsoon et al.[20]研究了联合功率分配与中继部署问题以实现寿命最大化。在成对协作网络中，针对寿命最大化的功率分配与合作伙伴选择问题已在[22]中进行了研究。

对于节点具有计算密集型任务且有低延迟要求的无线网络，卸载
将它们卸载到边缘云可能提高网络能效[2–11,23–31]。
You et al.[7]研究了移动边缘计算网络中的加权能耗最小化方案，通过联合优化负载和通信资源分配来实现。针对MIMO多小区系统，提出了一种联合优化无线资源利用、用户发送预编码矩阵以及计算资源分配的方法，旨在在满足每个用户任务延迟约束的前提下，最小化用户总能耗[8]。对于多服务器移动边缘计算网络，Tran et al.[10]研究了计算资源分配、发射功率分配和任务卸载决策的联合优化，以最小化表示为任务完成时间与任务能耗加权函数的系统实用。Cao et al.[11]研究了在对等设备和边缘云协同计算任务的情况下，计算与通信资源分配问题，以在满足用户计算延迟约束的同时，最小化网络的总能耗。

D. 论文结构

本文其余部分组织如下。第二节描述了我们的系统模型。第三节阐述了所提出的MEEM策略中计算任务共享与资源分配的联合优化问题，并包含了在网络寿命最大化问题中利用未来用户任务信息的建模。我们在第四至第五节中分别通过几何规划推导出三种被研究策略的最优解。第六节分析了数值仿真结果。第七节对全文进行总结。

II. 系统模型

我们的多用户网络包含由集合 K={1,.., K}表示的
K个用户以及一个配备具有有限计算能力边缘云的基站（BS）。每个用户k ∈ K具有 fk的计算能力和 ek J的初始电池能量。系统以时隙方式运行，每 n秒，边缘云为具有一组计算密集型任务的用户提供服务。我们考虑一种准静态场景，在一个计算卸载周期内移动用户集合保持不变，但在不同时隙之间可能发生变化。

设 Kl ⊆ K表示在时隙 l ∈{1, 2,..}由云服务的
用户集合。设用户 k ∈ Kl在第 l个时隙有一个任务 φ k( l) =(βk( l) b k( l))需要计算，其中 b k( l)为需计算的比特数，
包括程序代码和输入参数， β k( l)为任务进行1比特计算所需的CPU周期数。因此， β k( l)bk( l)表示计算任务 φ k( l)所需的总CPU周期。文献[32]中提出的方法可用于确定 b k
(l)和 β k( l)。在[33],中，作者研究了一些应用的 β k( l)的值。
类似于[6, 7, 28–31],，我们考虑可分割任务，因此每个用户可以完全或部分卸载其计算任务至基站。任务需要被执行
在最大可容忍延迟Tth ≤ n内。此类网络的一个示例是物联网（IoT）网络，其中边缘云周期性地接收来自物联网设备的可分割任务（例如图像）进行处理。表I总结了本文使用的主要符号。

表I：本文使用的主要符号。

参数	定义
K	用户集合
fk	用户 k 的CPU频率
ek	用户 k 的初始电池能量
n	时隙的持续时间（秒）
Kl	时隙 l 的活跃用户集合
φk(l)	用户 k在时隙 l 的任务
βk(l)	执行以下任务所需的CPU周期数 任务 φk(l) 的1比特计算所需
bk(l)	需计算的比特数 任务 φk(l)
Tth	任务的最大可容忍延迟
Tk(l)	用户 k 的本地计算时间 在时隙 l
bEC k(l)	卸载到边缘云的比特数 k用户在时隙 l
Ek(l)	本地计算能耗 用户 k在时隙 l
γc	CPU的有效开关电容
Rk,b	链路的频谱效率 用户 k与基站之间
Pk	用户 k的发射功率密度
gk,b	用户 k到基站的大尺度信道增益
N0	噪声功率谱密度
τk,EC(l)	用户 k卸载l比特的时延 bEC
Bk(l)	在时隙 l 分配给用户 k 的带宽
TEC,k(l)	计算任务的计算时间 在边缘云上的 bEC k(l) 比特
Fk(l)	分配给的计算资源 用户 k在时隙 l
e′ k( l)	用户 k在时隙 l的剩余能量

A. 本地计算

如图2所示，用户 k ∈ K l 将l比特卸载到边缘云，并在其自身计算 b k( l) − b EC k (l)比特
处理器在时隙 l 的时间。因此，本地计算时间为
$$
T_k(l)= \frac{\beta_k(l)(b_k(l)− b^{EC}_k(l))}{f_k}. \tag{1}
$$

遵循任务计算的标准能耗模型，用户 k 计算 bk(l)− bEC k(l)
比特的总计算能耗为
$$
E_k(l)= \gamma_c \beta_k(l)(b_k(l)− b^{EC}_k(l)) f^2_k, \tag{2}
$$
其中 γc是CPU的有效开关电容。

B. 卸载任务的计算

每个用户 k ∈ Kl在时隙 l向边缘云卸载 bEC k(l) 比特，然后边缘云在其处理器上计算这些比特，并将计算任务的结果发送回用户。设在时隙 l分配给用户 k的带宽为 Bk(l)。对于遍历性瑞利衰落，用户 k与基站之间链路的频谱效率（单位为 比特/秒/赫兹）为 [35]：
$$
R_{k,b}= \exp\left(\frac{N_0}{P_k g_{k,b}}\right) E_1\left(\frac{N_0}{P_k g_{k,b}}\right) \log_2 e \tag{3}
$$
其中， $ E_1(x) = \int^\infty_1 m^{-1}e^{-xm}dm $为指数积分，gk,b为用户k到基站的链路大尺度衰落增益， Pk为用户k的发射
功率密度， N0为噪声功率谱密度。因此，将 bEC k(l)比特卸载至边缘云的时延为
$$
\tau_{k,EC}(l)= \frac{b^{EC} k(l)}{B_k(l)R {k,b}}, \tag{4}
$$
用户 k卸载 bEC k(l)比特的能耗是
$$
E_k(l)= P_k \frac{b^{EC} k(l)}{R {k,b}}. \tag{5}
$$
设云在时隙 l 为用户 k 分配其 Fk(l) 的计算资源。
因此，为了计算用户k 的 bEC k(l) 比特，边缘云所需时间为
$$
T_{EC,k}(l)= \frac{\beta_k(l)b^{EC}_k(l)}{F_k(l)}. \tag{6}
$$

III. 问题建模

任务 φ k( l)的总体完成时间是 k ∈ Kl
$$
T_i(m)= \max(T_k(l), \tau_{k,b}(l)+ T_{EC,k}(l)). \tag{7}
$$
我们忽略将计算结果发送回去所花费的时间，因为输出数据的大小相对于输入数据[3]而言通常较小。

网络寿命被定义为所有用户任务在最大可容忍时延内完成执行，且所有用户均未耗尽能量的时间长度。因此，
最大化网络的寿命可以表示为：
$$
\max_{F,B,b} T, \tag{8}
$$
s.t.
$$
\sum_{l\in S^T_k} (E_k(l)+ \tilde{E} k(l)) \leq e_k, \quad k \in {1,.., K},
$$
$$
T_i(m) \leq T {th}, \quad i \in K_m, m \in {1,.., T},
$$
$$
\sum_{i\in K_m} B_i(m) \leq B, \quad m \in {1,.., T},
$$
$$
\sum_{i\in K_m} F_i(m) \leq F, \quad m \in {1,.., T},
$$
其中，T 表示以时隙为单位的网络运行时间， SkT表示在网络运行时间 T 内用户 k被激活的时隙集合， B是系统中的总可用带宽， F是云的总处理能力。相应地， B、
F和 b分别是 Bi(m)、 Fi(m) 和 bEC i(m) 在i ∈ Km、
m ∈{1,.., T} 时所有值的向量。约束 (8) 中的第一个约束
要求用户 k在T 时间内的能耗（包括本地计算和卸载比特）不超过其初始电池能量 ek；第二个约束要求用户 i
在时隙 m的任务完成时间不超过最大可容忍延迟 Ti； 第三和第四个约束分别表示移动用户的通信和计算资源分配以及云的计算资源分配受限于系统的总带宽和云的处理能力。

上述问题在实际中难以求解，原因有两点。首先，为了基于该策略获得计算与通信资源分配，需要获取用户在
未来时隙的任务信息 βi(m) bi(m) i ∈ Km, m ∈{1,.., T}，
而这可能并不现实。其次，(8)式中的优化变量数量较大 （与T成正比），因此寻找最优解需要非常高的计算复杂度。本文旨在仅基于当前时隙的用户任务信息来最大化网络寿命，研究如下优化问题：
$$
\max_{F’, B’, b’} \min_{k \in K_l} \eta_k(l), \tag{9}
$$
s.t.
$$
T_k(l) \leq T_{th}, \quad k \in K_l,
$$
$$
\sum_{k \in K_l} B_k(l) \leq B, \quad \sum_{k \in K_l} F_k(l) \leq F,
$$
其中， η k(l) = e′ k( l)/(Ek(l) + Ek(l)) 表示用户 k ∈ Kl 的能源效率， e′ k( l) 为用户 k 在时隙 l 的剩余电池电量，
而 B′、 F′ 和 b′ 分别是所有 Bk( l)、 Fk( l) 和 bEC k(l) 值的向量，适用于 k ∈ Kl。网络的最小能效最大化（ MEEM），如 (9) 所述，旨在以下列方式平衡每个时隙 l ∈{1,.., T}内所有用户的可用剩余电池能量： 最大化 min k ∈ K l e′ k( l)/(Ek( l)+ Ek( l))，对剩余电池能量较低的用户减少其能耗，而对剩余电池能量较高的用户增加其能耗，这通过高计算实现
以及为剩余电池电量较低的用户分配较多的通信资源，而 为剩余电池电量较高的用户分配较少的通信和计算资源。
我们在第六节中的实验结果验证了这一诱导特性。

根据MEEM，在每个时隙 l ∈{1,.., T}分配计算和
通信资源时，仅需要用户在时隙 l、 βk(l)、 bk(l)的任务信息，因此该策略易于实现，与(8)不同。式(8)中的最优网络寿命问题旨在找到使网络寿命最大化的设计变量，因此基于该策略解法的网络寿命性能为MEEM提供了上界。
注意，如果Tth的值非常小，则(8)或(9)可能不可行。接下来，我们研究问题(8)和(9)的求解方法。

IV. 最小能量效率最大化

设 V为一个松弛变量，使得 1/V= mink∈Kl ηk(l)。利用(1)‐(7)，(9)可以表示为
$$
\min_{F’,B’,b’} V, \tag{10}
$$
s.t.
$$
\gamma_c \beta_k(b_k - b^{EC} k) f^2_k + P_k \frac{b^{EC}_k}{R {k,b}} \leq e’ k(l)V, \quad k \in K_l,
$$
$$
\frac{\beta_k(b_k - b^{EC}_k)}{f_k} \leq T {th}, \quad k \in K_l,
$$
$$
\frac{\beta_k b^{EC} k}{F_k} + \frac{b^{EC}_k}{B_k R {k,b}} \leq T_{th}, \quad k \in K_l,
$$
$$
\sum_{k\in K_l} B_k \leq B, \quad \sum_{k\in K_l} F_k \leq F.
$$
为简洁起见，我们省略了上述时间槽索引 l 。(10) 是一个非凸问题，因为第三个约束是非凸的。该问题可通过单凝聚法 [36] 转化为几何规划问题。根据该方法，对于一个正项式之比的约束，其分母正项式（例如 f(x)）可利用以下不等式近似为单项式：
$$
f(x)=\sum_\ell f_\ell(x) \geq \hat{f}(x)=\prod_\ell [f_\ell(x) \delta_\ell]^{\delta_\ell}, \tag{11}
$$
其中 δℓ> 0 和 ∑ℓ δℓ= 1。那么，对于 δℓ= fℓ(ˆx)/f(ˆx)，f(ˆx) 是 f(x) 在 x= ˆx 附近的最优单项式逼近。

我们提出一种迭代技术来最优求解(10)。在每次迭代 t
中，利用(11)将(10)中的第一个约束转换为正项式
$$
\left(e’ k(l)V(t) \delta_1(t)\right)^{-\delta_1(t)} \left(\gamma_c \beta_k b^{EC}_k(t)f^2_k \delta_2(t)\right)^{-\delta_2(t)}
\cdot\left(\gamma_c \beta_k b_k f^2_k + P_k \frac{b^{EC}_k(t)}{R {k,b}}\right) \leq 1, \quad k \in K_l, \tag{12}
$$
其中 δ1(t) 和 δ2(t) 是从第
(t −1) 次迭代的解中获得的， 如
$$
\delta_1(t)= \frac{e’ k(l)V(t - 1)}{e’_k(l)V(t - 1)+ \gamma_c \beta_k b^{EC}_k(t - 1)f^2},
$$
$$
\delta_2(t)= \frac{\gamma_c \beta_k b^{EC}_k(t - 1)f^2}{e’_k(l)V(t - 1)+ \gamma_c \beta_k b^{EC}_k(t - 1)f^2}.
$$
类似地，在每次迭代 t 中，使用 (11) 将其中的第二个约束转换为正项式
$$
\beta_k b_k \left(\frac{T {th}f_k}{\delta_3(t)}\right)^{-\delta_3(t)} \left(\beta_k b^{EC} k(t) \delta_4(t)\right)^{-\delta_4(t)} \leq 1, \quad k \in K_l,\tag{13}
$$
其中
$$
\delta_3(t)= \frac{T {th}f_k}{T_{th}f_k+ \beta_k b^{EC} k(t - 1)}, \quad \delta_4(t)= \frac{\beta_k b^{EC}_k(t - 1)}{T {th}f_k+ \beta_k b^{EC} k(t - 1)}.
$$
因此，在第 t次迭代中需要解决的整体优化问题是
$$
\min {V(t),F_k(t),B_k(t),b^{EC} k(t),k\in K_l} V(t) \tag{14}
$$
s.t.(12), (13)
$$
\frac{\beta_k b^{EC}_k(t)}{F_k(t)} + \frac{b^{EC}_k(t)}{B_k(t)R {k,b}} \leq T_{th}, \quad k \in K_l
$$
$$
\sum_{k\in K_l} B_k(t) \leq B, \quad \sum_{k\in K_l} F_k(t) \leq F.
$$
上述优化问题为几何规划，可最优求解。迭代优化将持续
进行，直到|V(t) − V(t − 1)| ≤ ǫ满足 0 ≤ ǫ ≪ 1。算法实现包含在算法1中，该算法收敛到(10)的全局解。
(10)的全局解对应的算法1收敛性证明见[36]。

算法1 MEEM的算法。
1：设置 t= 1，初始化 V(t)，Fk(t)， Bk(t)， bEC k(t)， k ∈ Kl
以保持(10)的可行性。
2: 当 true 时循环执行 ⊲无限循环
3: t= t+ 1
4: 计算 δ1(t)、 δ2(t)、 δ3(t) 和 δ4(t)
5: 通过求解 (14) 找到最优的 V(t)、 Fk(t)、 Bk(t)、 bEC k(t)、 k ∈ Kl
通过使用 GGPLAB [37] 求解 (14)
6: 如果 |V(t) − V(t −1)| ≤ ǫ 那么
7: 退出
8: 结束如果
9: 结束循环

MEEM的实现： 根据MEEM策略的资源分配可以以集中式方式进行。为此，基站需要获取所有用户在当前时隙的任务信息，这与文献[2, 3, 6–10]中所述的集中式资源分配策略类似。此外，基站还需要掌握用户的剩余能量信息以实施资源分配。我们假设用户初始电池能量的信息在基站处可用，该信息可通过用户的一次性传输获得。随后，基站可计算每个时隙的能耗
并确定下一时间时隙可用的剩余能量。

解决方案的复杂性： 由于在步骤5中使用CVX通过内点法
求解几何规划子问题，所需迭代次数为 log((3|Kl|+2)/t0ǫ) / log ξ，其中|Kl|表示时隙 l处的活跃用户数，因此3|Kl|+2 为约束总数， t0是用于逼近内点法精度的初始点， 0< ǫ<
1是内点法的停止准则， ξ用于更新内点法的精度[38]。
对于每次迭代，将非凸问题转换为(12)和(13)所需的计算量数量级为|Kl|。因此，算法1的总计算量数量级为
|Kl| × log((3|Kl|+2 )/t0ǫ) / log ξ。
由于我们在(3)中考虑了遍历数据速率，所提出的解决方案依赖于大尺度信道增益。如果用户在不同时隙之间位置没有显著变化，且任务参数在不同时隙之间保持不变，则资源分配和数据分割也保持不变。因此，无需在每个时隙都运行所提出的算法。

V. 最优寿命最大化

利用(1)‐(7)，可以将(8)中的问题表示为
$$
\max_{F,B,b} T, \tag{15}
$$
s.t.
$$
\sum_{l\in S^T_k} \left(\gamma_c \beta_k(l)(b_k(l)− b^{EC} k(l)) f^2_k + P_k \frac{b^{EC}_k(l)}{R {k,b}}\right) \leq e_k,
\quad k \in {1,.., K},
$$
$$
\frac{\beta_i(m)(b_i(m)− b^{EC} i(m))}{f_i} \leq T {th},
\quad i \in K_m, m \in {1,.., T},
$$
$$
\frac{\beta_i(m)b^{EC} i(m)}{F_i(m)} + \frac{b^{EC}_i(m)}{B_i(m)R {i,b}} \leq T_{th},
\quad i \in K_m, m \in {1,.., T},
$$
$$
\sum_{i\in K_m} B_i(m) \leq B, \quad \sum_{i\in K_m} F_i(m) \leq F, \quad m \in {1,.., T}.
$$
设 T =T′ 为给定的 T 值。以下可行性测试将决定网络是否可运行至 T′ 个时隙：
$$
\min_{F, B, b} 0 \tag{16}
$$
s.t.
$$
\sum_{l \in S^{T’} k} \left(\gamma_c \beta_k(l)(b_k(l)− b^{EC}_k(l)) f^2_k + P_k \frac{b^{EC}_k(l)}{R {k,b}}\right) \leq e_k,
\quad k \in {1,.., K},
$$
$$
\frac{\beta_i(m)(b_i(m)− b^{EC} i(m))}{f_i} \leq T {th},
\quad i \in K_m, m \in {1,.., T’},
$$
$$
\frac{\beta_i(m)b^{EC} i(m)}{F_i(m)} + \frac{b^{EC}_i(m)}{B_i(m)R {i,b}} \leq T_{th},
\quad i \in K_m, m \in {1,.., T’},
$$
$$
\sum_{i \in K_m} B_i(m) \leq B, \quad \sum_{i \in K_m} F_i(m) \leq F, \quad m \in {1,.., T’}
$$

移动边缘计算网络中的寿命最大化

萨比亚萨奇·古普塔，雅各布·查卡雷斯基，IEEE高级会员

因此，问题(15)可以通过一个双层嵌套搜索循环来求解，其中在外层循环中改变T′的值，在内层循环中检查(16)是否可行。(16)可行时T′的最大值即为最优网络寿命。我们考虑以下优化问题：
$$
\min_{F,B,b} S,
$$
s.t.
$$
\sum_{l\in S^{T’} k}\left(\gamma_c \beta_k(l)(b_k(l)− b^{EC}_k(l)) f^2_k + P_k \frac{b^{EC}_k(l)}{R {k,b}}\right) \leq e_k,
\quad k \in {1,.., K}, \tag{17a}
$$
$$
\frac{\beta_i(m)(b_i(m)− b^{EC} i(m))}{f_i} \leq S,
\quad i \in K_m, m \in {1,.., T’}, \tag{17b}
$$
$$
\frac{\beta_i(m)b^{EC}_i(m)}{F_i(m)} + \frac{b^{EC}_i(m)}{B_i(m)R {i,b}} \leq S,
\quad i \in K_m, m \in {1,.., T’}, \tag{17c}
$$
$$
\sum_{i\in K_m} B_i(m) \leq B, \quad m \in {1,.., T’}, \tag{17d}
$$
$$
\sum_{i\in K_m} F_i(m) \leq F, \quad m \in {1,.., T’}, \tag{17e}
$$
命题1。 (16) 中的可行性测试可以分两步解决，首先最优地求解 (17)，然后检查通过求解 (17) 得到的 S 在 T′ 个时隙内的最优值 ST′ 是否小于或等于 Th。
证明. 见附录A 问题(17)可以转换为几何规划，方法与第四节类似。
我们采用迭代技术来求解该问题。在每次迭代 t中，利用 (11)，将(17)中的第一个约束转换为正项式
$$
\left( \frac{e_k}{\delta_5(t)} \right)^{-\delta_5(t)} \prod_{j\in S^{T’} k} \left( \frac{\gamma_c \beta_k(j) b^{EC}_k(j, t) f^2_k}{\delta_6j(t)} \right)^{-\delta_6j(t)}
\cdot \sum {l\in S^{T’} k} \left( \gamma_c \beta_k(l) b_k(l) f^2_k + P_k \frac{b^{EC}_k(l, t)}{R {k,b}} \right) \leq 1, \quad k \in {1,.., K} \tag{18}
$$
其中
$$
\delta_5(t)= \frac{e_k}{e_k+\sum_{l \in S^{T’} k} \gamma_c \beta_k(l) b^{EC}_k(l, t - 1) f^2_k},
$$
$$
\delta_6j(t)= \frac{\gamma_c \beta_k(j) b^{EC}_k(j, t - 1) f^2_k}{e_k+\sum {l \in S^{T’} k} \gamma_c \beta_k(l) b^{EC}_k(l, t - 1) f^2_k},
$$
第二个约束被转换为一个正项式，即
$$
\beta_i(m) b_i(m) \left( \frac{S(t) f_i}{\delta_9(t)} \right)^{-\delta_9(t)} \left( \frac{\beta_i(m) b^{EC}_i(m, t)}{\delta {10}(t)} \right)^{-\delta_{10}(t)} \leq 1,
\quad i \in K_m, m \in {1,.., T’}, \tag{19}
$$
其中
$$
\delta_9(t)= \frac{S(t - 1) f_i}{S(t - 1) f_i + \beta_i(m) b^{EC} i(m, t - 1)}, \quad
\delta {10}(t)= \frac{\beta_i(m) b^{EC} i(m, t - 1)}{S(t - 1) f_i + \beta_i(m) b^{EC}_i(m, t - 1)}.
$$
因此，在时间 t 需要解决的整体优化问题为：
$$
\min {S(t),F_i(m,t),B_i(m,t),b^{EC} i(m,t)} S(t), \tag{20}
$$
s.t. (18),(19),
$$
\frac{\beta_i(m) b^{EC}_i(m, t)}{F_i(m, t)} + \frac{b^{EC}_i(m, t)}{B_i(m, t) R {i,b}} \leq S,
\quad i \in K_m, m \in {1,.., T’},
$$
$$
\sum_{i\in K_m} B_i(m, t) \leq B, \quad m \in {1,.., T’}.
$$
$$
\sum_{i\in K_m} F_i(m, t) \leq F, \quad m \in {1,.., T’}.
$$
上述优化问题是几何规划，可以最优求解。因此，通过迭代求解(20)，并遵循与算法 1[36]中给出的类似步骤，可得到(17)的最优解。因此，为了求解(15)，在内层
算法2 寻找最优网络寿命。
1: 初始化 low和 high （用于二分查找的下界和上界）
2: 当 high > low 时执行
3: T′ = ⌊(low + high)/2⌋
4: 通过求解 (17) 找到 ST′
5: 如果 ST′ < Tth 则
6: low = T′ + 1
7: else
8: high = T′
9: 结束 if
10: 结束 while
11: Toptimal = low − 1

在外层循环中，我们通过首先求解(17)，并按照上述方法检查条件 ST′ ≤ Tth，来判断网络是否可运行T′个时隙，并针对给定的T′值进行验证。然后在外层循环中使用二分查找来寻找网络能够运行的T′的最大值。整个过程在算法 2中进行了描述。该算法的输出 Toptimal是最优网络寿命。
尽管该策略由于计算复杂度较高且需要未来用户任务信息而可能在实际中难以实现，但它代表了MEEM方法性能的上界。我们证明，在某些设置下，MEEM能够达到与全局最优网络寿命策略相同的性能。以下命题给出了当所有用户具有相同任务参数时最优网络寿命的上界。
命题2. 如果每个用户 k 在每个时隙具有相同的任务特征，即 φk(l)= φk =(βk, bk)，则通过求解 (15) 可获得的最优网络寿命上界如下所示
$$
T_{optimal} \leq \min_{k \in {1,..,K}} \frac{e_k}{\epsilon_k}, \tag{21}
$$
其中
$$
\epsilon_k= \begin{cases}
\gamma_c \beta_k b_k f^2_k, & \text{if } \gamma_c \beta_k f^2_k \leq \frac{P_k}{R_{k,b}}, \
\frac{P_k b_k}{R_{k,b}}, & \text{if } \gamma_c \beta_k f^2_k > \frac{P_k}{R_{k,b}}.
\end{cases}
$$
证明。 参见附录B。

VI. 性能评估

表二：仿真参数

参数	值
fi	0.5 GHz [7, 10, 34]
βi	均匀的 [500, 1500]周期/比特 [7]
bi	均匀的 [100, 500] Kb [7, 10, 39]
Pi	10⁻⁸ W/Hz
B	5 兆赫
F	6 吉赫 [10, 34]
Tth	0.15 秒 [10, 34]
γc	10⁻²⁸ [7]
N0	−147 dBM/Hz
ǫ	10⁻⁵

这里我们展示仿真结果，用于评估所提出策略的网络寿命性能。作为参考，我们将提出的策略与以下基准方法进行比较：

• 参考方法1 该方案旨在最小化所有用户的总能耗，即在每个时隙 l 上最小化∑k∈Kl (Ek(l) + Ek(l))，同时满足问题(9)的相同约束。许多文献中的最新研究工作 [7, 8, 10, 11]已将总能耗最小化作为目标，用于决定移动边缘计算网络的资源分配。
• 参考方法2 该方案旨在最小化所有用户之间的最大能耗，即在每个时隙 l 上，在与问题(9)相同的约束条件下，最小化 maxk∈Kl(Ek(l) + Ek(l))。在每个时隙最小化所有用户的最大能耗，旨在实现用户间能耗的公平性，从而提高网络寿命。
• Local Computation 在此方案中，用户在其自身的处理器上执行任务计算。
• 完全卸载 在此方案中，所有用户被分配相等的计算和通信资源。在每个时隙，每个用户的任务的所有比特都被卸载到边缘云，并在边缘云的处理器上进行计算。

参考方法1和2的资源分配可通过几何规划以与算法1类似的步骤进行迭代求解。在接下来的评估中，十个用户均匀分布在半径50米的圆形区域内，与云关联的基站在中心位置。仿真参数（除非另有说明）总结于表二。网络中的每个用户根据一个激活概率 pi服从[0.3, 0.7]的均匀分布。因此，在不同时隙被激活的用户集合可能不同。所得结果基于500次网络实现进行平均。

请注意，本地计算和完全卸载方案未利用网络中所有可用资源，因此在这两种策略下，用户未达到最大可容忍时延。如以下图所示，本地计算和完全卸载方案实现的平均延迟分别为 0.21 秒和 0.20 秒。

在图3中，我们考虑了所提出的策略在一个用户初始能量不相同的网络中的性能。该网络共有十个用户，其中五个随机选择的用户具有初始能量 e1，另外五个用户的初始能量为 e2，且 e2 ≤ e1。我们将初始网络总能量（即所有用户电池能量之和）固定为 etot= 5 J。当初始用户能量比 eratio= e1/e2从1变化到5时，评估所提出的策略的网络寿命性能。如果 eratio= 1，则所有用户具有相同的初始能量，即 e1= e2= 0.5 J；而如果 eratio= 5，则五个用户具有初始能量 e1= 0.83，另外五个用户具有初始能量 e2= 0.17。随着 eratio的增加， e1的增长幅度大于 e2，网络中的能量均衡性降低，因此所有策略的网络寿命均下降。由于MEEM策略在决定任务共享和资源分配时考虑了剩余电池能量信息，而参考方法在优化系统参数时未考虑剩余电池能量信息，因此在 eratio取较高值时，MEEM相较于参考方法实现了显著的性能提升。例如，当 eratio = 5时，MEEM策略相比参考方法1和参考方法2分别实现了1.73倍更长的网络寿命（性能提升70%）和1.53倍更长的网络寿命（性能提升50%）。此外，对于 eratio = 5，MEEM达到了4.6倍与本地计算方案相比，网络寿命更长（460%的提升）。

图4显示了当初始网络总能量etot从5焦耳变化到25焦耳且 eratio= 1时，所研究策略的网络寿命性能。随着 etot的增加，每种策略的网络寿命性能均有所提升。可以观察到，与本地计算方案相比，MEEM策略和参考方法的性能提升速率更高。在 etot= 25焦耳时，MEEM策略相较于参考方法1、2和本地计算分别实现了1.15倍、1.35倍和3.70倍更长的网络寿命。

图5显示了当最大可容忍时延Tth从0.15秒增加到0.21秒时，网络的可用寿命。我们有 eratio= 1, etot= 5 J。这里，我们也展示了完全卸载策略的性能。可以看出，与本地计算策略相比，完全卸载策略具有更高的网络寿命，因为用户在卸载任务时的能耗低于在其本地处理器上计算任务时的能耗。然而，这些策略都不是实际可行的选择，因为在这两种策略下，任务无法在最大可容忍延迟内完成。随着Tth的增加， MEEM和参考方法的网络寿命性能均有所提升。这是因为在最大可容忍延迟增加的情况下，关于任务分配以及计算和通信资源分配的决策变得更加宽松，从而降低了用户的能耗。此外，我们可以观察到，在Tth取较高值时， MEEM的性能与参考方法及完全卸载策略相同，即三者趋于收敛。这是由于将任务卸载至边缘云进行任务计算的能耗低于在本地处理器上进行任务计算的能耗，且在Tth较高时，对于MEEM和参考方法而言，每个任务均可通过将全部比特完全卸载至边缘云并在最大可容忍延迟内完成任务。

接下来，我们将研究MEEM和参考方法与第五节中描述的最优网络寿命策略相比的性能。对于后者，优化变量的数量与网络运行所经历的时隙数量成正比。因此，如果网络寿命较长，则通过几何规划求解(15)的最优解在优化变量较多时具有挑战性。因此，我们展示了在 etot较低情况下的提出策略的性能，此时网络寿命较短，从而优化变量的数量也较少。在图6中，我们得到了提出的策略在 eratio = 1下的网络寿命性能。我们可以观察到，本地计算的性能最差，其次是参考方法1、2和MEEM能够实现越来越长的网络寿命，处于中间水平，而最优网络寿命策略则如预期般提供最佳性能。同样，我们可以观察到，随着 etot的增加，所有策略的网络寿命均如预期般增加。当 etot变化时，最优网络寿命策略相比MEEM实现了12‐17%更高的网络寿命，而MEEM相对于参考方法1和2分别实现了21‐45%的持续网络寿命增益。

图7比较了在边缘云计算能力从5 GHz变化到9 GHz时，针对 etot= 0.5和 eratio= 1情况下各研究策略所实现的网络寿命。随着云端计算能力的增加，所有策略下的网络寿命均有所提升。随着云计算能力的增强，分配给每个用户的云计算资源也随之增加，因此用户可以将更多比特卸载至边缘云，从而降低每个用户的计算能耗，进而提升网络寿命。特别是对于任务具有较高 βk值（l）的用户 k ∈ Kl，通过将比特卸载至边缘云而非在本地处理器上进行计算，可显著节省能量。最后，如图7所示，在高云计算能力条件下，最优网络寿命策略、MEEM与参考方法性能相同。这是因为在高云计算能力下，每个用户均可获得充足的边缘云计算资源，通过将每个任务的所有比特完全卸载至边缘云，可在满足最大可容忍延迟的前提下完成任务，并有效降低能耗。

在图8中，我们研究了每种被考察策略在 etot = 5和 eratio = 1下实现的网络寿命的经验累积分布函数（CDF）。生成这些结果共考虑了1000个网络实现。本地计算、参考方法1、2和MEEM所达到的预期网络寿命分别为108.1、304.3、353.8和414个时隙。我们注意到，这些值与这些策略在图5中针对 etot = 5所展示的网络寿命性能一致。本地计算、参考方法1、2和MEEM对应的启用网络寿命的标准差分别为12、34、12.3和14（单位：时隙）。因此，MEEM不仅在启用的预期网络寿命方面显著优于参考方法1，而且在不同网络实现之间的一致性上也表现更优。特别是，从图8可以看出，与参考方法1相比， MEEM的网络寿命标准差减少了近三倍。

在图9和图10中，我们分析了在给定时隙内用户之间的计算与通信资源分配情况。假设该时隙有五个用户处于活跃状态，用户1至用户5的初始电池能量分别为0.83 焦耳、0.17 焦耳、0.83 焦耳、0.17 焦耳和0.83 焦耳。类似地，用户1至用户5需计算的比特数分别为200 千字节、400 千字节、200 千字节、400 千字节和200 千字节。各用户的初始电池能量和需计算的比特数已在图中用矩形框标出。对于参考方法1，计算与通信资源分配在用户之间保持均衡。然而，MEEM为剩余能量较低、计算比特数较多的用户分配更高的计算和通信资源，而为剩余能量较高、计算比特数较少的用户分配较低的计算和通信资源。因此，其性能更优。参考方法2旨在最小化用户的最大能耗，因此为计算比特数较多的用户分配更高的计算和通信资源，而为计算比特数较少的用户分配较低的计算和通信资源。

在图11中，我们针对每个任务需要计算的给定比特数 bi ，考察了提出的策略在启用的网络寿命方面的性能。用户的初始电池能量根据值 etot = 5和 eratio = 1随机分布（均匀分布）。随着 bi 的增加，每种策略的网络寿命性能下降。这是因为较高的 bi 值表明需要更多的每个任务需要计算的比特数更多，导致每个时隙的能耗更高。可以观察到，对于 bi的高值，本地计算策略的性能较差。

在图12中，我们分析了用户激活概率对网络中提出策略的网络寿命性能的影响。为此，我们假设所有用户的激活概率相同，然后改变用户的激活概率并观察网络寿命性能。随着激活概率的增加，每个时隙中有更多用户处于活跃状态以执行其任务，因此能耗增加。因此，网络寿命随着激活概率的增加而减少。

VII. 结论与未来工作

我们研究了一个网络中的寿命最大化问题，在该网络中，其节点/用户借助边缘云周期性地执行计算任务。为了仅基于当前时隙的用户任务信息来最大化网络寿命，我们提出了一种MEEM策略，用于决定用户与云之间的任务分配以及计算和通信资源的分配。此外，我们还研究了在可获取未来用户任务信息情况下的网络寿命最大化问题，并将其作为MEEM的上界。尽管MEEM的优化问题为非凸问题，但我们证明了可通过可行性测试和几何规划获得全局最优解。我们表明，MEEM策略的性能接近最优网络寿命。在初始用户能量比较高时，MEEM相较于最先进方法实现了约70%寿命提升，相对于仅在本地用户进行计算的情况实现了460%寿命提升。当完成用户计算任务的最大可容忍延迟较高时，MEEM能够实现全局最优网络寿命性能。最后，我们表明，与最先进方法相比， MEEM在多样化网络拓扑下使可实现网络寿命的波动显著降低（减少3倍）。

在我们的方法中，考虑了准静态用户移动性以及计算任务所需的CPU周期与比特数之间的线性关系。这些假设在实际场景中较为常见[6, 7, 28–31]，并且有助于实现分析的可处理性并获得具有洞察力的结果。在计算卸载周期内研究动态用户移动性以及所需CPU周期与任务比特大小之间的非线性依赖关系超出了本文的范围，属于未来工作的前瞻性方向。特别是当本地设备或边缘云上计算所需的 CPU周期可表示为任务比特大小的多项式函数时，可根据第四至第五节提供的方法获得相应资源分配策略的闭式解。
另一个潜在的未来研究方向是在我们的设定中考虑不可分割任务的二进制卸载，其中任务计算无法在边缘云和用户设备之间共享。最后，将我们的理论进展集成到相关的新颖应用场景中，如去中心化多视角感知、协作式视频流与缓存、无人机物联网以及移动虚拟现实[40–47]，是另一项值得探索的未来课题。