1 论文简介

粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization, PSO）是由 James Kennedy 和 Russell Eberhart 于 1995 年在 IEEE International Conference on Neural Networks 上发表的开创性论文《Particle Swarm Optimization》中提出的。该论文针对连续优化问题，特别是高维、非线性、多峰函数的全局优化挑战，提出了一种基于群体智能的启发式算法。核心方法模拟鸟群或鱼群的社会行为，将每个潜在解视为一个“粒子”，通过粒子间的协作和个体经验共享来搜索最优解。具体地，每个粒子跟踪自身历史最优位置和群体全局最优位置，结合惯性权重和随机因子迭代更新位置和速度。这种方法避免了传统优化算法（如梯度下降）的局部收敛问题，具有计算高效、参数少、易于并行实现的优势。应用领域广泛，包括工程优化（如结构设计、参数调优）、机器学习（如神经网络训练、特征选择）、经济模型预测和控制理论等。自提出以来，PSO 已成为群体智能领域的基石算法，影响力深远：它启发了多种变体（如惯性权重 PSO、多目标 PSO），并在 IEEE Transactions on Evolutionary Computation 等顶级期刊上被广泛引用，推动了优化理论在人工智能和工业应用中的发展。

2 算法原理

粒子群算法的主要步骤如下：

步骤一：初始化粒子群

随机生成 $N$ 个粒子的初始位置 $X_i(0)$ 和速度 $V_i(0)$，其中 $i=1,2,\dots ,N$。每个粒子代表一个潜在解，位置向量维度与问题变量匹配。

步骤二：计算适应度

对每个粒子，评估其适应度函数 $f(X_i(t))$，该函数反映解的优劣（例如，最小化目标函数值）。

步骤三：更新个体最优位置和全局最优位置

如果当前适应度优于历史最优，更新粒子的个体最优位置 $pbes{t}_i$： $$pbes{t}_i(t+1)=\{\begin{array}{ll}{X}_i(t)& \text{如果 }f(X_i(t))<f(pbes{t}_i(t))\\ pbes{t}_i(t)& \text{否则}\end{array}$$
从所有 $pbes{t}_i$ 中选择最优位置作为全局最优位置 $gbest(t)$。

步骤四：更新速度和位置

对每个粒子，根据以下公式迭代更新速度 $V_i(t)$ 和位置 $X_i(t)$：
$$V_i(t+1)=w\cdot V_i(t)+c_1\cdot r_1\cdot (pbes{t}_i(t)-X_i(t))+c_2\cdot r_2\cdot (gbest(t)-X_i(t))$$
$$X_i(t+1)=X_i(t)+V_i(t+1)$$
其中，$w$ 是惯性权重，$c_1$ 和 $c_2$ 是加速常数（通常设为 2），$r_1$ 和 $r_2$ 是均匀分布在 $[0,1]$ 的随机数。

步骤五：迭代终止

重复步骤二至四直到满足终止条件（如最大迭代次数或收敛阈值）。

3 CEC2017

CEC2017（IEEE Congress on Evolutionary Computation 2017 基准测试函数集）是由 IEEE 计算智能协会组织的顶级会议 CEC 在 2017 年发布的一套标准测试函数集，主要用于评估和比较各类元启发式优化算法（如遗传算法、粒子群算法、差分进化、灰狼优化器、麻雀搜索算法等）的性能。核心目标是为全球优化算法研究者提供一个统一、公平、具有挑战性的测试平台，以客观地比较不同算法在解决复杂优化问题时的收敛精度、速度、鲁棒性和可扩展性。CEC2017 共包含 30 个测试函数（编号为 F1-F30），分为 4 大类（F2 已经被剔除）：

注意：

• 单峰函数（F1、F3）：只有一个全局最优值，无局部最优值，测试算法收敛速度和开发能力，好的算法应能快速、准确地找到最优点。
• 简单多峰函数（F4-F10）：有多个局部最优值，但数量相对可控，测试算法跳出局部最优的探索能力。
• 混合函数：（F11-F20）：由多个不同的基本函数（如椭圆函数、Rastrigin 函数等）通过某种方式拼接、组合而成，不同子区域具有不同特性，测试算法处理复杂、非均匀搜索空间的能力，是 CEC2017 的亮点和难点之一。
• 复合函数：（F21-F30）：比混合函数更复杂，整个搜索空间由一个“外套函数”进行全局整形，内部再嵌入多个不同的基础函数，并加上偏置、旋转和位移，使得问题高度非线性、不可分。
• 维度： 默认推荐维度为 2D，10D， 30D， 50D， 100D。允许研究者测试算法在不同维度下的可扩展性。
• 搜索范围： 通常为 $[-100,100{]}^D$。
• 由于 CEC2017 函数的复杂性，如何绘制并呈现函数曲面成为难点之一，下面展示 PSO 在 CEC2017 测试集上的运行结果。

4 PSO 在 CEC2017 测试集上的运行结果

所有函数曲面绘制与原文章显示一致，但是 F11-F20、F29 和 F30 原文章并未给出实际函数曲面（高纬度函数无法绘制），博主采取将其它维度赋值为 0 的形式显示。

4.1 绘制 CEC2017 函数 3D 曲面并保存

F1-F10 函数曲面

F11-F20 函数曲面

F21-F30 函数曲面

单独保存函数曲面

4.2 PSO 在 CEC2017 函数上的运行结果（包括函数绘制、收敛曲线、等高线与搜索历史、箱线图）

注意，当实际维度大于 2D 时，搜索历史并不准确。

4.3 PSO 在 CEC2017 函数上的运行结果（3D 粒子轨迹图）

注意，当实际维度大于 2D 时，不显示 3D 粒子轨迹图。

5 参考文献

[1] Kennedy J, Eberhart R. Particle swarm optimization[C]//Proceedings of ICNN’95-international conference on neural networks. ieee, 1995, 4: 1942-1948.
[2] Wu G, Mallipeddi R, Suganthan P N. Problem definitions and evaluation criteria for the CEC 2017 competition on constrained real-parameter optimization[J]. National University of Defense Technology, Changsha, Hunan, PR China and Kyungpook National University, Daegu, South Korea and Nanyang Technological University, Singapore, Technical Report, 2017, 9: 2017.

6 MATLAB 代码

1、粒子群算法（Particle Swarm Optimization, PSO）论文和作者给出的代码已存放在工粽号（却相迎的小屋），回复 1995-PSO，诸君自取！
2、粒子群算法（Particle Swarm Optimization, PSO）在 CEC2017 测试集上的运行结果文件夹包括（却相迎的小屋）：

• CEC2017 测试集 PDF 文档
• input_data 数据
• 粒子群算法（Particle Swarm Optimization, PSO）在 CEC2017 测试集上的运行代码（包括函数绘制、收敛曲线、等高线与搜索历史、箱线图和 3D 粒子轨迹图）
• 注意：存在以下三点需在此说明：一是搜索历史显示仅在 2D 时为真实搜索历史；二是很多组合函数和混合函数（F11-F20、F29、F30）没有 2D 时的数据；三是 3D 粒子轨迹图仅在维度等于 2D 时显示。