定积分是微积分中的核心概念之一，它用于计算累积总量，比如曲线下的面积、变速运动的路程、不规则物体的质量等。下面我们从最直观的问题出发，一步步揭开定积分的神秘面纱。

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2.1 从“求面积”说起

1) 曲边梯形的面积

我们熟悉矩形、三角形、梯形的面积公式，但如果遇到一条曲线围成的图形（比如抛物线 $y=x^2$ 下方从 $x=0$ 到 $x=1$ 的部分），该怎么求它的面积呢？

这个图形被称为曲边梯形，它的一边是曲线，其他边是直线。古人用“穷竭法”近似计算，而微积分给出了精确的方法。

2) 核心思想：分割、近似、求和、取极限

定积分的基本思想可以用四个字概括：以直代曲。具体步骤是：

1. 分割：将区间 $[a,b]$ 任意分成 $n$ 个小区间，每个小区间的长度记为 $\Delta x_i$（不一定相等）。

2. 近似：在每个小区间内任取一点 ${\xi }_i$，用该点处的函数值 $f({\xi }_i)$ 作为矩形的高，矩形的面积为 $f({\xi }_i)\Delta x_i$。

3. 求和：将所有小矩形的面积加起来，得到曲边梯形面积的近似值：
   $$S_n=\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i$$

4. 取极限：当分割越来越细（即所有小区间的最大长度 $\lambda \to 0$）时，如果上述和式的极限存在且与分割方式及 ${\xi }_i$ 的取法无关，则称此极限为函数 $ f(x) $ 在 $[a,b]$ 上的定积分，记作
   $${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i$$

这个极限就是曲边梯形的精确面积。

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2.2 定积分的定义

定义：设函数 $ f(x) $ 在区间 $[a,b]$ 上有定义。任取一种分割：
$$a=x_0<x_1<x_2<\cdots <x_n=b$$
记 $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$，并令 λ = max ⁡ { Δ x 1 , Δ x 2 , … , Δ x n } \lambda = \max\{\Delta x_1,\Delta x_2,\dots,\Delta x_n\} λ=max{Δx1​,Δx2​,…,Δxn​}。在每个小区间 $[x_{i-1},x_i]$ 上任取一点 ${\xi }_i$，作和式
$$\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i$$
如果当 $\lambda \to 0$ 时，该和式的极限存在且与分割及 ${\xi }_i$ 的取法无关，则称此极限为 $ f(x) $ 在 $[a,b]$ 上的定积分，记为 ${\int }_a^{b}f(x)dx$。此时称 $ f(x) $ 在 $[a,b]$ 上可积。

其中：

• $a$ 和 $b$ 分别称为积分下限和上限。
• $f(x)$ 称为被积函数。
• $x$ 称为积分变量（积分值与变量符号无关，${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(t)dt$）。
• $dx$ 表示积分是沿着 $ x $ 轴进行的。

可积条件：如果 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则它一定可积；如果只有有限个间断点且函数有界，也可积。

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2.3 定积分的几何意义

• 当 $f(x)\ge 0$ 时，${\int }_a^{b}f(x)dx$ 表示由曲线 $y=f(x)$、$x$ 轴以及直线 $x=a$、$x=b$ 所围成的曲边梯形的面积。
• 如果 $f(x)$ 有正有负，则积分表示各部分面积的代数和：$x$ 轴上方取正，下方取负。

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2.4 定积分的性质

以下假设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在相关区间上可积。

1) 线性性质

1. 常数因子：${\int }_a^{b}kf(x)dx=k{\int }_a^{b}f(x)dx$（$k$ 为常数）。
2. 加减法：${\int }_a^b[f(x)\pm g(x)]dx={\int }_a^{b}f(x)dx\pm {\int }_a^{b}g(x)dx$。

2) 区间可加性

若 $a<c<b$，则
$${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx$$

3) 保号性

如果在 $[a,b]$ 上 $f(x)\ge 0$，则 ${\int }_a^{b}f(x)dx\ge 0$。
推论：若 $f(x)\ge g(x)$，则 ${\int }_a^{b}f(x)dx\ge {\int }_a^{b}g(x)dx$。

4) 绝对值不等式

$$\left|{\int }_a^{b}f(x)dx\right|\le {\int }_a^b|f(x)|dx$$

5) 积分中值定理

若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则存在 $\xi \in [a,b]$，使得
$${\int }_a^{b}f(x)dx=f(\xi )(b-a)$$
几何意义：曲边梯形的面积等于以区间长度为底、以某点函数值为高的矩形面积。

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2.5 定积分的计算方法

1) 用定义计算（黎曼和）

虽然定义是基础，但直接用它计算通常很繁琐，只有少数简单函数可行。

例：用定义计算 ${\int }_0^1{x}^{2}dx$。
将 $[0,1]$ 分成 $n$ 等份，取右端点 ${\xi }_i=\frac{i}{n}$，则
$$S_n=\sum _{i=1}^n{\left(\frac{i}{n}\right)}^2\cdot \frac{1}{n}=\frac{1}{n^3}\sum _{i=1}^n{i}^2=\frac{1}{n^3}\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}$$
当 $n\to \infty$ 时，$S_n\to \frac{1}{3}$，所以
$${\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{1}{3}$$

2) 微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）

这是计算定积分最常用的方法。

定理：如果 $F(x)$ 是连续函数 $ f(x) $ 在 $[a,b]$ 上的一个原函数（即 $F^{\prime }(x)=f(x)$），则
$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$

例：计算 ${\int }_1^{3}2xdx$。
原函数 $F(x)=x^2$，所以
$${\int }_1^{3}2xdx=F(3)-F(1)=9-1=8$$

3) 换元积分法

对于定积分，换元时要同时变换积分限。

公式：设 $x=\phi (t)$ 在 $[\alpha ,\beta ]$ 上单调可导，且 $\phi (\alpha )=a$，$\phi (\beta )=b$，则
$${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_{\alpha }^{\beta }f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)dt$$

例：计算 ${\int }_0^1\sqrt{1-x^2}dx$（四分之一单位圆面积）。
令 $x=\sin t$，则 $dx=\cos tdt$，当 $x=0$ 时 $t=0$，$x=1$ 时 $t=\frac{\pi }{2}$。于是
$${\int }_0^1\sqrt{1-x^2}dx={\int }_0^{\pi /2}\sqrt{1-{\sin }^{2}t}\cdot \cos tdt={\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{2}tdt={\int }_0^{\pi /2}\frac{1+\cos 2t}{2}dt=\frac{\pi }{4}.$$

4) 分部积分法

对应乘积函数的积分公式：
$${\int }_a^{b}u(x)v^{\prime }(x)dx={\left[u(x)v(x)\right]}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\prime }(x)v(x)dx$$

例：计算 ${\int }_0^{1}x{e}^{x}dx$。
令 $u=x$，$v^{\prime }=e^x$，则 $u^{\prime }=1$，$v=e^x$，所以
$${\int }_0^{1}x{e}^{x}dx={\left[x{e}^x\right]}_0^1-{\int }_0^1{e}^{x}dx=e-(e-1)=1$$

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2.6 定积分的应用

1) 平面图形的面积

• 曲线 $y=f(x)$ 与 $x$ 轴在 $[a,b]$ 上所围面积：$S={\int }_a^b|f(x)|dx$。
• 两条曲线 $y=f(x)$、$y=g(x)$ 之间的面积（$f(x)\ge g(x)$）：$S={\int }_a^b[f(x)-g(x)]dx$。

例：求抛物线 $y=x^2$ 与直线 $y=x$ 所围成的面积。
先求交点：$x^2=x\Rightarrow x=0$ 或 $x=1$。在 $[0,1]$ 上 $x\ge x^2$，所以面积
$$S={\int }_0^1(x-x^2)dx={\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]}_0^1=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$$

2) 变速直线运动的路程

已知速度 $v(t)$，则时间 $[t_1,t_2]$ 内的路程为 $s={\int }_{t_1}^{t_2}|v(t)|dt$（若速度方向不变，可直接用 $v(t)$ 积分）。

3) 旋转体的体积

由曲线 $y=f(x)$ （$f(x)\ge 0$）绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积：
$$V=\pi {\int }_a^b[f(x){]}^{2}dx$$

例：求 $y=\sqrt{x}$ 在 $[0,1]$ 上绕 $x$ 轴的旋转体体积。
$$V=\pi {\int }_0^1(\sqrt{x}{)}^{2}dx=\pi {\int }_0^{1}xdx=\pi \cdot \frac{1}{2}=\frac{\pi }{2}$$

4) 变力做功

若力 $F(x)$ 沿 $x$ 轴方向将物体从 $a$ 移到 $b$，则做功 $W={\int }_a^{b}F(x)dx$。

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2.7 补充：反常积分

如果积分区间无限或被积函数无界，则需要引入反常积分。

• 无穷限积分：${\int }_a^{+\infty }f(x)dx={\lim }_{b\to +\infty }{\int }_a^{b}f(x)dx$（若极限存在）。
• 瑕积分：若 $ f(x) $ 在 $x=a$ 附近无界，则 ${\int }_a^{b}f(x)dx={\lim }_{\epsilon \to 0^{+}}{\int }_{a+\epsilon }^{b}f(x)dx$

例：${\int }_1^{+\infty }\frac{1}{x^2}dx={\lim }_{b\to +\infty }{\left[-\frac{1}{x}\right]}_1^b={\lim }_{b\to +\infty }\left(1-\frac{1}{b}\right)=1$

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2.8 总结

• 定积分是解决累积问题（面积、路程、体积、功等）的数学工具。
• 它的定义基于黎曼和的极限。
• 计算主要依靠牛顿-莱布尼茨公式，结合换元、分部等技巧。
• 掌握定积分，就掌握了连接微分与现实的桥梁，是深入理解科学和工程的基础。

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