参考博客https://www.cnblogs.com/MashiroSky/p/5918158.html

中国剩余定理

　　在《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之  剩二（除以7余2），问物几何？”这个问题称为“孙子问题”，该问题的一般解法国际上称为“中国剩余定理”。

    具体解法分三步：

1.  找出三个数：从3和5的公倍数中找出被7除余1的最小数15，从3和7的公倍数中找出被5除余1 的最小数21，最后从5和7的公倍数中找出除3余1的最小数70。
2. 用15乘以2（2为最终结果除以7的余数），用21乘以3（3为最终结果除以5的余数），同理，用70乘以2（2为最终结果除以3的余数），然后把三个乘积相加15∗2+21∗3+70∗2得到和233。
3. 用233除以3，5，7三个数的最小公倍数105，得到余数23，即233%105=23。这个余数23就是符合条件的最小数。

　　就这么简单。我们在感叹神奇的同时不禁想知道古人是如何想到这个方法的，有什么基本的数学依据吗？

　　我们将“孙子问题”拆分成几个简单的小问题，从零开始，试图揣测古人是如何推导出这个解法的。

　　首先，我们假设n1是满足除以3余2的一个数，比如2，5，8等等，也就是满足3∗k+2（k>=0）3∗k+2（k>=0）的一个任意数。同样，我们假设n2是满足除以5余3的一个数，n3是满足除以7余2的一个数。

　　有了前面的假设，我们先从n1这个角度出发，已知n1满足除以3余2，能不能使得n1+n2的和仍然满足除以3余2？进而使得n1+n2+n3的和仍然满足除以3余2？

　　这就牵涉到一个最基本数学定理，如果有a%b=c，则有(a+k∗b)%b=c(k为非零整数)(a+k∗b)%b=c(k为非零整数)，换句话说，如果一个除法运算的余数为c，那么被除数与k倍的除数相加（或相减）的和（差）再与除数相除，余数不变。这个是很好证明的。

　　以此定理为依据，如果n2是3的倍数，n1+n2就依然满足除以3余2。同理，如果n3也是3的倍数，那么n1+n2+n3的和就满足除以3余2。这是从n1的角度考虑的，再从n2，n3的角度出发，我们可推导出以下三点：

1. 1. 为使n1+n2+n3的和满足除以3余2，n2和n3必须是3的倍数。
   2. 为使n1+n2+n3的和满足除以5余3，n1和n3必须是5的倍数。
   3. 为使n1+n2+n3的和满足除以7余2，n1和n2必须是7的倍数。

　　因此，为使n1+n2+n3的和作为“孙子问题”的一个最终解，需满足：

1. 1. n1除以3余2，且是5和7的公倍数。
   2. n2除以5余3，且是3和7的公倍数。
   3. n3除以7余2，且是3和5的公倍数。

　　所以，孙子问题解法的本质是从5和7的公倍数中找一个除以3余2的数n1，从3和7的公倍数中找一个除以5余3的数n2，从3和5的公倍数中找一个除以7余2的数n3，再将三个数相加得到解。在求n1，n2，n3时又用了一个小技巧，以n1为例，并非从5和7的公倍数中直接找一个除以3余2的数，而是先找一个除以3余1的数，再乘以2。也就是先求出5和7的公倍数模3下的逆元，再用逆元去乘余数。

这里又有一个数学公式，如果a%b=c，那么(a∗k)%b=a%b+a%b+…+a%b=c+c+…+c=k∗c(k>0)也就是说，如果一个除法的余数为c，那么被除数的k倍与除数相除的余数为k∗c。展开式中已证明。

　　最后，我们还要清楚一点，n1+n2+n3只是问题的一个解，并不是最小的解。如何得到最小解？我们只需要从中最大限度的减掉掉3，5，7的公倍数105即可。道理就是前面讲过的定理“如果a%b=c，则有(a−k∗b)%b=c”。所以（n1+n2+n3）%105就是最终的最小解。

　　这样一来就得到了中国剩余定理的公式：

设正整数两两互素，则同余方程组

                             

有整数解。并且在模下的解是唯一的，解为

                               

其中，而为模的逆元。

 

---

 

中国剩余定理扩展——求解模数不互质情况下的线性方程组：

　　普通的中国剩余定理要求所有的互素，那么如果不互素呢，怎么求解同余方程组？

　　这种情况就采用两两合并的思想，假设要合并如下两个方程：

　　那么得到：

　　我们需要求出一个最小的xx使它满足：

　　那么x1x1和x2x2就要尽可能的小，于是我们用扩展欧几里得算法求出x1x1的最小正整数解，将它代回a1+m1x1a1+m1x1，得到xx的一个特解x′x′，当然也是最小正整数解。

　　所以xx的通解一定是x′x′加上lcm(m1,m2)∗k，这样才能保证xx模m1和m2的余数是a1和a2。由此，我们把这个x′当做新的方程的余数，把lcm(m1,m2)当做新的方程的模数。（这一段是关键）

　　合并完成：

//中国剩余定理模板
typedef long long ll;
ll china(ll a[],ll b[],int n)//a[]为除数，b[]为余数
{
    ll M=1,y,x=0;
    for(int i=0;i<n;++i)  //算出它们累乘的结果
        M*=a[i];
    for(int i=0;i<n;++i)
    {
        ll w=M/a[i];
        ll tx=0;
        int t=exgcd(w,a[i],tx,y);  //计算逆元
        x=(x+w*(b[i]/t)*x)%M; 
    }
    return (x+M)%M;
}

#include<iostream>
#include<string>
#include<cstdio>
typedef long long ll;
using namespace std;
const int maxn=100000+5;
int n;
ll ai[maxn],bi[maxn];
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if(b==0){ x=1, y=0; return a;}
    ll gcd=exgcd(b,a%b,x,y);
    ll tp=x;
    x=y, y=tp-a/b*y;
    return gcd;
}
ll mult(ll a,ll b,ll mod){
    long long res=0;
    while(b>0){
        if(b&1) res=(res+a)%mod;
        a=(a+a)%mod;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
ll excrt(){
    ll x,y;
    ll ans=bi[1],M=ai[1];
    for(int i=2;i<=n;++i){
        ll a=M,b=ai[i],c=(bi[i]-ans%ai[i]+ai[i])%ai[i];
        ll gcd=exgcd(a,b,x,y);
        x=mult(x,c/gcd,b/gcd);
        ans+=x*M;
        M*=b/gcd;
        ans=(ans%M+M)%M;
    }
    return (ans%M+M)%M;
}
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        cin>>ai[i]>>bi[i];
    cout<<excrt();
}