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二维投影

上图表示的是，向量b在向量a上的投影。显然有例如以下表达式：

当中，P为投影矩阵，由P的表达式能够看出，它具有例如以下性质：

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三维投影

       三维投影，就是将一个向量投影到一个平面上。同上面一样，如果是将b向量投影到平面上的p向量，则有表达式：

e是垂直与平面的向量。

 

因为p向量在平面上。则p向量能够由该平面的2个线性无关向量(正如。在xy平面的不论什么向量都能够由x轴，y轴表示)表示：

 

因为e垂直平面，则e向量垂直与平面中的随意向量。则有：

将上式化简求得x：

又由于p=Ax，Pb=p，则得到投影矩阵为：

由P的表达式能够看出，它具有例如以下性质：

上面的投影矩阵是通式。当投影在一维情况时，数值的逆是它的倒数，A即为直线上的随意一个向量a,投影矩阵为：

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实例说明：

 

如上图，如果我们要将向量b投影到水平面上。其投影为p，a1,a2为水平面的两个线性无关向量，它们的參数分别为：

那么A=[a1 a2]即：

由上面我们求得的通式，可得投影矩阵P:

知道投影矩阵P后。我们能够得到b在水平面上的投影p为：

 

显然，p与我们图中所看到的的结果同样。这里我们是以三维情况进行举例的，更高维情况。我们无法用图像来描写叙述，可是通式也是成立的。