本文参考：泡泡机器人提供的带注释的ORB_SLAM2源代码
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https://blog.csdn.net/RobotLife/article/details/87194017

在orb_slam2中，为了实现特征尺度不变性采用了图像金字塔，金字塔的缩放因子为1.2,。其思路就是对原始图形（第0层）依次进行1/1.2缩放比例进行降采样得到共计8张图片（包括原始图像），然后分别对得到的图像进行特征提取，并记录特征所在金字塔的第几层，这样得到一帧图像的特征点，如图1所示。

现在假设在第二层中有一特征点F，为了避免缩放带来特征点F在纵向的移动，为简化叙述，选择的特征点F位于图像中心，如图2所示。根据相机成像“物近像大，物远像小”的原理，如图2所示为相机成像的示意图。假设图1中摄像机原始图像即金字塔第0层对应图2中成像视野I₀ ，则图1中图像金字塔第2层图像可以相应对应于图2中成像视野I₂ 。

其中特征点F所在patch的相应关系如图3所示。根据图2可以得到 结论1： d₂ / d₀ = 1.2² 。

有了以上铺垫现在，来说说，尺度不变性，这里不直接说明，而是看看对于第m层上的一个特征点，其对应尺度不变时相机与特征点对应空间位置之间距离（简称物距）的范围。

假设第m层上有一特征点F_m，其空间位置与拍摄时相机中心的位置为d_m ，显然这是原始图像缩放1/1.2^m 倍后得到的特征点patch，考虑“物远像小”的成像特点，要使得该第m层特征点对应patch变为图像金字塔第0层中同样大小的patch，其相机与空间点的距离d=d_m * 1.2^m ,即尺度不变的最大物距d_max = d_m*1.2^m 。

要求尺度不变的最小物距则这样考虑：根据“物近像大”的成像特点，使得当前第m层的特征点移到第7层上则，真实相机成像图像得放大1.2^7-m倍，故对应最小物距d_min=d_m *1.2^m-7 。

orb_slam2中原始代码如下：
注意：上面变量与代码中变量的对应关系：
7 <–> nLevels-1
m <–> level
1.2^m <–> levelScaleFactor
d_max <–> mfMaxDistance
d_min <–> mfMinDistance

void MapPoint::UpdateNormalAndDepth()
{
    map<KeyFrame*,size_t> observations;
    KeyFrame* pRefKF;
    cv::Mat Pos;
    {
        unique_lock<mutex> lock1(mMutexFeatures);
        unique_lock<mutex> lock2(mMutexPos);
        if(mbBad)
            return;

        observations=mObservations; // 获得观测到该3d点的所有关键帧
        pRefKF=mpRefKF;             // 观测到该点的参考关键帧
        Pos = mWorldPos.clone();    // 3d点在世界坐标系中的位置
    }

    if(observations.empty())
        return;

    cv::Mat normal = cv::Mat::zeros(3,1,CV_32F);
    int n=0;
    for(map<KeyFrame*,size_t>::iterator mit=observations.begin(), mend=observations.end(); mit!=mend; mit++)
    {
        KeyFrame* pKF = mit->first;
        cv::Mat Owi = pKF->GetCameraCenter();
        cv::Mat normali = mWorldPos - Owi;
        normal = normal + normali/cv::norm(normali); // 对所有关键帧对该点的观测方向归一化为单位向量进行求和
        n++;
    } 

    cv::Mat PC = Pos - pRefKF->GetCameraCenter(); // 参考关键帧相机指向3D点的向量（在世界坐标系下的表示）
    const float dist = cv::norm(PC); // 该点到参考关键帧相机的距离
    const int level = pRefKF->mvKeysUn[observations[pRefKF]].octave;
    const float levelScaleFactor =  pRefKF->mvScaleFactors[level];
    const int nLevels = pRefKF->mnScaleLevels; // 金字塔层数

    {
        unique_lock<mutex> lock3(mMutexPos);
        // 另见PredictScale函数前的注释
        mfMaxDistance = dist*levelScaleFactor;                           // 观测到该点的距离下限
        mfMinDistance = mfMaxDistance/pRefKF->mvScaleFactors[nLevels-1]; // 观测到该点的距离上限
        mNormalVector = normal/n;                                        // 获得平均的观测方向
    }
}