多重共线性的诊断

1.方差扩大因子法

经验表明，$VI{F}_j\ge 10$时，就说明自变量$x_j$与其余变量之间有严重的多重共线性，且这种多重共线性可能会过度地影响最小二乘估计值。

代码实现如下：

data3.3<-read.csv("C:/Users/Administrator/Desktop/data3.3.csv",head=TRUE)
lm3.3<-lm(y~x1+x2+x3+x4+x5,data3.3)
library(car)
vif(lm3.3)
复制

输出结果为：

　　从输出结果看到，$x1,x2$的方差扩大因子很大，远远超过10 ，说明这四个变量之间存在严重的多重共线性。
　　一般情况下，当一个回归方程存在严重的多重共线性时，有若干个自变量所对应的方差扩大因子大于10，这个回归方程多重共线性的存在就是由方差扩大因子超过10 的这几个变量引起的，说明这几个自变量之间有一定的多重共线性的关系存在。知道了这一点，对于我们消除回归方程的多重共线性非常有用。

2.特征根判定法

通常认为条件数$k<100$时，设计矩阵$X$多重共线性的程度很小；$100\le k\le 1000$时，设计矩阵$X$存在较强的多重共线性；$k>1000$时，存在严重的多重共线性。

代码实现如下：

data3.3<-read.csv("C:/Users/Administrator/Desktop/data3.3.csv",head=TRUE)
XX<-cor(data3.3[,2:6])
kappa(XX,exact=TRUE)
复制

输出结果为：

　　根据条件数大于1000，说明自变量之间存在严重的多重共线性。为找出哪些变量是多重共线性的，需要计算矩阵的特征值和相应的特征向量，在R命令窗口下面代码：

eigen(XX)
复制

输出结果为：

　　有结果知道相应的特征向量为
　　$\phi =(3.99,0.93,0.07,0.01,0{)}^T$
　
　即$3.99X_1^{\ast }+0.93X_2^{\ast }+0.07X_3^{\ast }+0.01X_4^{\ast }\approx 0$。由于$X_3^{\ast },X_4^{\ast },X_5^{\ast }$的系数几近于0，故$X_1^{\ast }$和$X_2^{\ast }$之间存在着多种共线性。