§5.4  定积分的换元法

一、换元公式

【定理】若

1、函数在上连续；

2、函数在区间上单值且具有连续导数；

3、当在上变化时，的值在上变化，且

 ， 

则有

                          (1)

证明：

(1)式中的被积函数在其积分区间上均是连续， 故(1)式两端的定积分存在。且(1)式两端的被积函数的原函数均是存在的。

假设是在上的一个原函数，据牛顿—莱布尼兹公式有

另一方面， 函数的导数为

这表明： 函数是在上的一个原函数， 故有：

从而有   

对这一定理给出几点注解：

1、用替换，将原来变量代换成新变量后，原定积分的限应同时换成新变量的限。

求出的原函数后，不必象不定积分那样，将变换成原变量的函数，只需将新变量的上下限代入中然后相减即可。

2、应注意代换的条件，避免出错。

(1)、在单值且连续；

(2)、

3、对于时， 换元公式(1)仍然成立。

 

【例1】求  

【解法一】 令

当时，；当时，。

又当  时，有

且变换函数 在上单值，在上连续，

由换元公式有

 

【解法二】令

当时， ；  当时， 。

又当时， ，

且变换函数在上单值， 在上连续，

由换元公式有

注意：

在【解法二】中，经过换元，定积分的下限较上限大。

换元公式也可以反过来， 即

【例2】求

解：设，

当 时，；当  时，

 

一般来说，这类换元可以不明显地写出新变量，自然也就不必改变定积分的上下限。

二、常用的变量替换技术与几个常用的结论

【例3】证明

1、若在上连续且为偶函数，则

2、若在上连续且为奇函数，则

证明：由定积分对区间的可加性有

  

对 作替换  得

故有

 

若为偶函数， 则

若为奇函数， 则 

【例4】若在上连续， 证明：

1、

2、

并由此式计算定积分 

 

1、证明：设 ，

 

2、证明： 设 ，

 

 

 

【例5】求

解：令 ，

故 

评注：

这一定积分的计算并未求原函数，只用到了变量替换、定积分性质，这一解法值得我们学习。