二维随机变量

定义 设$(X,Y)$是二维随机变量，对于任意实数$x,y$,二元函数： \newline
F ( x , y ) = P { ( X ⩽ x ) ⋂ ( Y ⩽ y ) } = 记 成 P { X ⩽ x , Y ⩽ y } F(x,y)=P\{(X\leqslant x)\bigcap(Y\leqslant y)\}\xlongequal{记成}P\{X\leqslant x,Y\leqslant y\} F(x,y)=P{(X⩽x)⋂(Y⩽y)}记成 P{X⩽x,Y⩽y}
称为二位随机变量$(X,Y)$的分布函数，或称为随机变量$X$和$Y$的联合分布函数

  对离散型随机变量X和Y，有

$F(x,y)=\sum _{x_i⩽x}\sum _{y_i⩽y}{P}_{ij}$

  对连续型随机变量，有

$F(x,y)={\int }_{-\infty }^y{\int }_{-\infty }^{x}f(u,v)dudv$

  $f(x,y)$称为二维随机变量$(X,Y)$的概率密度，或称为随机变量$X$和$Y$的联合概率密度.

边缘概率密度

边缘分布函数：

F X ( x ) = P { X ⩽ x } = P { X ⩽ x , Y &lt; ∞ } = F ( x , ∞ ) , F_X(x) = P\{X \leqslant x \}=P\{X \leqslant x ,Y &lt; \infty\}=F(x,\infty), FX​(x)=P{X⩽x}=P{X⩽x,Y<∞}=F(x,∞),
即$$F_X(x)=F(x,\infty ).$$

边缘概率密度

$$f_X(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x,y)dy.$$
$$f_Y(y)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x,y)dx$$

条件分布

定义 设$(X,Y)$是二维离散型随机变量，对于固定的 $j$ ，若 P { Y = y j } &gt; 0 , P\{Y = y_j\} &gt; 0, P{Y=yj​}>0, 则称
P { X = x i ∣ Y = y j } = P { X = x i , Y = y i } P { Y = y j } P\{X=x_i | Y = y_j\} = \frac{P\{X=x_i,Y=y_i\}}{P\{Y=y_j\}} P{X=xi​∣Y=yj​}=P{Y=yj​}P{X=xi​,Y=yi​}​
为在$X=x_i$在条件$Y=y_j$下随机变量$X$的条件分布律.

定义 设二维随机变量 $(X,Y)$ 的概率密度为 $f(x,y)，(X,Y)$ 关于 $Y$ 的边缘概率密度为$f_Y(y).$若对于固定的 $y,f_Y(y)>0$,则称$\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$ 为在 $Y=y$ 的条件下 $X$ 的条件概率密度，记为
$$f_{x|y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}.$$

相互独立的随机变量

定义 设 $F(x,y)$ 及 $F_x(x),F_Y(y)$ 分别是二维随机变量 $(X,Y)$ 的分布函数及边缘分布函数.若对于所有 $x,y$ 有
P { X ⩽ x , Y ⩽ y } = P { X ⩽ x } P { Y ⩽ y } , P\{X\leqslant x, Y\leqslant y\} = P\{X \leqslant x\} P\{Y\leqslant y\} , P{X⩽x,Y⩽y}=P{X⩽x}P{Y⩽y},
即 $$F(x,y)=F_X(x)F_Y(y),$$
则称随机变量 $X$ 和 $Y$ 是相互独立的.

  设 $(X,Y)$ 是连续型随机变量，$f(x,y),f_X(x),f_Y(y)$ 分别为 $(X,Y)$ 的概率密度和边缘概率密度，则 $X$ 和 $Y$ 相互独立的条件等价于

$$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$$

  对于二维正态随机变量 $(X,Y),X$ 和 $Y$ 相互独立的充要条件是参数 $\rho =0.$

两个随机变量的函数的分布、卷积公式

（一）Z=X+Y的分布

  设(X,Y) 是二维连续型随机变量，它们具有概率密度 $f(x,y).$ 则 $Z=X+Y$ 仍为连续型随机变量，其概率密度为

$$f_{X+Y}(z)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(z-y,y)dy,$$ 或$${f}_{X+Y}(z)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x,z-x)dx$$

  又若 X 和 Y 相互独立，设（X,Y）关于X,Y的边缘概率密度分别为 $f_X(x),f_Y(y)$ 则上式化为

$$f_{X+Y}(z)={\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_X(z-y)f_Y(y)dy$$
和$$f_{X+Y}(z)={\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_X(x)f_Y(z-x)dx.$$

  这两个公式称为 $f_X$ 和 $f_Y$ 的卷积公式，记为 $f_X\ast f_Y$，即

$$f_X\ast f_Y={\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_X(z-y)f_Y(y)dy={\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_X(x)f_Y(z-x)dx.$$

（二）Z=X/Y的分布、Z=XY的分布

  设（X,Y）是二维连续型随机变量，它具有概率密度 $f(x,y)$ ，则 $Z=\frac{Y}{X}、Z=XY$仍为连续型随机变量，其概率密度分别为

$$f_{Y/X}(z)={\int }_{-\infty }^{\infty }|x|f(x,xz)dx,$$
$$f_{XY}(z)={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{1}{|x|}f(x,\frac{z}{x})dx.$$

  又若 X 和 Y 相互独立.设（X，Y）关于X，Y的边缘密度分别为 $f_X(x),f_Y(y),$则上式化为

$$f_{Y/X}(z)={\int }_{-\infty }^{\infty }|x|f_X(x)f_Y(xz)dx.$$
$$f_{XY}(z)={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{1}{|x|}{f}_X(x)f_Y(x,\frac{z}{x})dx.$$

（三）M=max{X,Y} 及 N=min{X,Y}的分布

  设X，Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为 $F_X(x)$ 和 $F_Y(y).$ 现在来求 M = m a x { X , Y } M=max\{X,Y\} M=max{X,Y} 及 N = m i n { X , Y } N=min\{X,Y\} N=min{X,Y} 的分布函数.
  由于 M = m a x { X , Y } M=max\{X,Y\} M=max{X,Y} 不大于 z 等价于 X 和 Y 都不大与 z ，故有
P { M ⩽ z } = P { X ⩽ z , Y ⩽ z } . P\{M\leqslant z\}=P\{X\leqslant z,Y\leqslant z\}. P{M⩽z}=P{X⩽z,Y⩽z}.
  又由于 X 和 Y 相互独立，得到 M = m a x { X , Y } M=max\{X,Y\} M=max{X,Y}的分布函数为
F m a x ( z ) = P { M ⩽ z } = P { X ⩽ z , Y ⩽ z } = P { X ⩽ z } P { Y ⩽ z } . F_{max}(z)=P\{M\leqslant z\}=P\{X\leqslant z,Y\leqslant z\}=P\{X\leqslant z\}P\{Y\leqslant z\}. Fmax​(z)=P{M⩽z}=P{X⩽z,Y⩽z}=P{X⩽z}P{Y⩽z}.
  即有

$F_{max}(z)=F_X(z)F_Y(z).$

  类似地，可得 N = m i n { X , Y } N=min\{X,Y\} N=min{X,Y} 的分布函数为
F m i n ( z ) = P { N ⩽ z } = 1 − P { N &gt; z } = 1 − P { X &gt; z , Y &gt; z } = 1 − P { X &gt; z } ⋅ P { Y &gt; z } F_{min}(z)=P\{N\leqslant z\}=1-P\{N&gt;z\}\newline =1-P\{X&gt;z,Y&gt;z\}=1-P\{X&gt;z\} \cdot P\{Y&gt;z\} Fmin​(z)=P{N⩽z}=1−P{N>z}=1−P{X>z,Y>z}=1−P{X>z}⋅P{Y>z}
  即有

$F_{min}(z)=1-[1-F_X(z)][1-F_Y(z)].$

  例题：
  设随机变 $(X,Y)$ 的概率密度为
$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}x+y,& \text{0<x<1,0<y<1},\\ 0,& \text{其他}\end{array}$$
  分别求（1）Z=X+Y，（2）Z=XY的概率密度
  解：
  (1)
  $f(z-y,y)=\{\begin{array}{ll}z,& \text{0<z-y<1,0<y<1},\\ 0,& \text{其他}\end{array}$

  可以看出使 $f̸=0$ 的 $y$ 的取值范围
  $\{\begin{array}{l}0<y<1\\ z-1<y<z\end{array}$
  这两部分的交集就是对 $f$ 积分时 $y$ 的取值范围.


  $f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(z-y,y)=\{\begin{array}{ll}{\int }_0^{z}zdy,& \text{0<z<1},\\ {\int }_{z-1}^{1}zdy,& 1⩽z<2\\ 0& \text{others}\end{array}=\{\begin{array}{ll}{z}^2,& \text{0<z<1},\\ 2z-z^2,& 1⩽z<2\\ 0& \text{others}\end{array}$


  (2)
  $f(x,\frac{z}{x})=\{\begin{array}{ll}x+\frac{z}{x},& 0<x<1,0<\frac{z}{x}<1,\\ 0& others\end{array}$


  从中求得 $x$ 的取值范围为 $z<x<1$
$$f_{XY}(z)={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{1}{|x|}f(x,\frac{z}{x})dx={\int }_z^1\frac{1}{|x|}(x+\frac{z}{x})dx={\int }_z^1(1+\frac{z}{x^2})dx=2(1-z)$$