Note：PCA主成分分析用到实对称阵的相似对角化，用个文章复习一下相关概念和计算过程。

1.对角矩阵

如果一个矩阵满足如下条件，则它就是一个对角阵：

（1）是一个方阵

（2）只有对角线元素是非零元素

形状如：

2.数量矩阵

如果一个矩阵满足如下条件，则它就是一个数量矩阵：

（1）是一个方阵

（2）只有主对角线上元素是非零元素

（3）主对角线上元素都相等！

也就是：对角线元素都相等的对角矩阵是数量矩阵。

可知单位矩阵E是数量矩阵的特殊情况

3.正对角阵

只有正对角线上元素为非零值时，称为正对角阵，如下所示：

4.反对角阵

只有副对角线上元素为非零值时，称为反对角阵，如下所示：

5.线性相关、线性无关

在下面理解矩阵与对角阵相似的过程中，涉及到了线性无关，记录下。

线性相关：在一组数据中，有一个或者多个量可以被其余量表示

线性无关：在一组数据中，没有一个量可以被其余量表示

6.矩阵与对角阵相似的条件

如果一个矩阵A满足如下条件，则此矩阵就可以说是对角矩阵相似：

（1）A是一个方阵，因为对角阵是方阵

（2）矩阵A有n个线性无关的特征向量

如何用计算方阵A的特征值的方法来判断方阵A 是否与对角阵相似？

答，步骤如下：

（1）先求出方阵A的所有特征值

（2）如果所有特征值互异，则方阵与对角阵相似

即：如果n阶方阵A有n个互异的特征值，则方阵A与对角阵相似

7.一般矩阵的相似对角化

如果方阵A与对角阵相似，则一定存在一个可逆矩阵P，按照下面公式求出方阵A的相似对角矩阵：

求方阵A相似对角阵的步骤：

8.一般矩阵对角化的练习题

此例题来自：点我

9.实对称矩阵的相似对角化

方法：可以用正交阵将实对称矩阵A化为对角阵

10.实对称矩阵的相似对角化的练习题

此例题来自：点我

11.协方差矩阵的相似对角化

因为协方差矩阵是实对称矩阵，所以协方差矩阵的对角阵求解方法 可以按照 实对称矩阵的对角阵求解方法来计算，如上所示。

(end)