最大似然估计简介

最大似然估计是一种统计方法，通过最大似然估计可以求一个样本集的概率密度函数的分布参数θ，从而求出样本集对应分布的概率密度函数。

举例子来理解的话就是：

已知：一个概率分布D

已知：概率分布D的一个样本集X，样本集大小为n

已知：次概率分布D的概率密度函数f=f(x; θ)，其中θ是一个分布参数，θ未知~

           （分布参数不懂得请百度百科~，分布参数有起码3种类型）

那么问题来了，虽然已经知道了概率分布D和D的一个样本集X，但是怎么求出概率密度函数f(x;θ)中的未知分布参数θ呢？？？？

这个问题的解决方法就是：最大似然估计

思路如下：

∵ 概率分布D已知

∴样本集X中的每个样本的概率值已知，每个样本xi的分布概率记作p(xi)，i∈[1,n]

∵概率密度函数为f(x; θ)

∴求出样本集X发生的概率，记作F(p(x1),p(x2)，……，p(xn))

可知F(p(x1)，p(x2)，……，p(xn)) = f(x1,x2,……,xn; θ)复制

根据上面的f(x1,x2,……,xn|θ)函数找到一个关于θ的估计，最大似然估计就是寻找关于θ的最可能的值！！！！

θ的可能的值就是：在所有可能的θ取值中，寻找到一个值使得这个样本集的“可能性”最大化，就是使得样本集的可能性函数取得最大值。

最大似然估计原理

原理其实就在最大似然估计概述部分已经详细介绍过了。下面给出，要进行最大似然估计，就要给出一个样本集的可能性：

        like(θ)=f(x1,x2,……,xn; θ)

并在θ的所有取值上，使得这个函数最大化的θ，就称为θ的最大似然估计。即θ的最大似然估计使得样本集的可能性取得最大化。

like(θ)就称为似然函数，以θ为因变量，使得似然函数最大化的θ值，就是最大似然估计值。

但是请注意：

1）这里的可能性指的是，在样本集X=(x1, x2, ……，xn)不变情况下，以θ为因变量的一个函数

2）最大似然估计函数，可能唯一

3）最大似然估计函数，也可能不存在

4）最大似然估计，既适用于离散分布又适用于连续分布

5）概率密度函数可能有多个未知的分布参数θ=(θ1，θ2，……，θm)

最大似然估计的一般求解步骤

步骤1：写出似然函数

    L(θ) = p(x1, x2, ……，xn；θ) ---->总体是离散分布时

   或

     L(θ)=f(x1, x2，……，xn；θ)  ---->总体是连续分布时

步骤2：对似然函数两边取自然对数

    ln(L(θ)) = ln(p(x1, x2, ……，xn；θ))---->总体是离散分布时

或

    ln(L(θ)) = ln(f(x1, x2, ……，xn；θ))---->总体是连续分布时

步骤3：ln(L(θ))对θ求导，并使其等于0，然后求出θ的值

    d(ln(L(θ)))/d(θ) = 0

    这个方程是对数似然方程。数学求解此方程，求出来的θ值，就是未知分布参数θ的最大似然估计值。复制

疑问解答

    可能有人对步骤2不解：

        为啥要对似然函数L(θ)两边取自然对数呢？

        能否对似然函数L(θ)直接取导数，然后求最大似然估计值可以吗？

    问：求解中步骤2 是对似然函数两边取自然对数，而不是其他操作？

    答：自然对数ln是一个连续且在似然函数L(θ)的值域内严格递增的函数，所以最大化一个似然函数L(θ) 和 最大化此似然函数的自然对数（即对数似然函数）是等价的，所以可以通过对似然函数L(θ)取自然对数，来降低似然函数中因变量θ的复杂度。

    答：通过去自然对数，可以降低似然函数L(θ)中因变量θ的复杂度，方便求解。如果直接对似然函数L(θ)取导并使其为0，并求得使L(θ)取得最大值的θ值，也可以的，但是有可能L(θ)中θ太复杂而导致计算复杂度很高。

(end)