下面我们来推导下傅里叶变换，看下面一个周期方波信号，宽2T1，周期为T：

    图像如下

     根据前面的知识，其存在傅里叶级数，且该信号的级数系数为：

由于并未给出T1和T的具体值，这里我们设T=4*T1，其图像是：

    T进一步增加

    我们来看级数系数在对应的w0的变化在SA函数取样

    当T=8*T1的时候：

 

     当T=16*T1的时候：

    当T趋近于无穷大，级数系数取样间隔变得无穷小，周期方波变成只有一个方波的非周期绝对可积信号。

    以上通过扩大一个周期信号的周期，给出一个周期无穷大的绝对可积的信号的“傅里叶级数”形式，当我们原始信号为一个周期无穷大，或者是非周期的绝对可积信号，我们将使用相同的思想，先将原始信号按照一定的周期复制成周期信号，然后求解周期信号的傅里叶级数，然后将周期扩展到无穷大：

    上面图中是x(t)周期复制的结果，的傅里叶级数为：

    分析公式为：

    由于x(t)在-T/2到T/2内与相同，在区间-T/2到T/2外，x(t)为0，所以将换成x(t)：

    定义Tak的包络函数

    所以，系数ak可以写为：

    把ak带回来式子中得到

    因为，改写为：

    当T趋近于无穷大的时候，w0趋近于无穷小上式子变成积分形式，上式求和内容为一个矩形面积，当w0趋近于无穷小的时候，收敛于x（t）。

     至此，我们得出傅里叶完整公式对：

    因为傅里叶变换是无限的“级数”，所以存在收敛问题：

• 条件1：信号绝对可积
• 
• 条件2：任何区间内，x（t）具有有限个最大值与最小值
• 条件3：任何区间内，x（t）具有有限个不连续点，并且每个不连续点的值是有限值。

   对于周期函数的傅里叶变换，其结果与傅里叶级数相同，我们可以理解为其傅里叶变换的一串冲击函数。

2、傅里叶变换在图像中的意义

   

在图像处理中，频域反应了图像在空域灰度变化剧烈程度，也就是图像灰度的变化速度，也就是图像的梯 度大小。对图像而言，图像的边缘部分是突变部分，变化较快，因此反应在频域上是高频分量；图像的噪声大部分情况下是高频部分；图像平缓变化部分则为低频分 量。也就是说，傅立叶变换提供另外一个角度来观察图像，可以将图像从灰度分布转化到频率分布上来观察图像的特征。书面一点说就是，傅里叶变换提供了一条从 空域到频率自由转换的途径。对图像处理而言，以下概念非常的重要：

图像高频分量： 图像突变部分；在某些情况下指图像边缘信息，某些情况下指噪声，更多是两者的混合；

低 频分量：图像变化平缓的部分，也就是图像轮廓信息

高通滤波器：让图像使低频分量抑 制，高频分量通过

低通滤波器：与高通相反，让图像使高频分量抑制，低频分量通过

带通滤波器：使图像在某一部分的频率信息通过，其他过低或过高都抑制

还有个带阻滤波器，是带通的反。

模板运算与卷积定理

在时域内做模板运算，实际上就是对图像进行卷积。 模板运算是图像处理一个很重要的处理过程，很多图像处理过程，比如增强/去噪（这两个分不清楚），边缘检测中普遍用到。根据卷积定理，时域卷积等价与频域 乘积。因此，在时域内对图像做模板运算就等效于在频域内对图像做滤波处理。

比如说 一个均值模板，其频域响应为一个低通滤波器；在时域内对图像作均值滤波就等效于在频域内对图像用均值模板的频域响应对图像的频域响应作一个低通滤波。

图像去噪

图像去噪 就是压制图像的噪音部分。因此，如果噪音是高频额，从频域的角度来看，就是需要用一个低通滤波器对图像进行处理。通过低通滤波器可以抑制图像的高频分量。 但是这种情况下常常会造成边缘信息的抑制。常见的去噪模板有均值模板，高斯模板等。这两种滤波器都是在局部区域抑制图像的高频分量，模糊图像边缘的同时也 抑制了噪声。还有一种非线性滤波-中值滤波器。中值滤波器对脉冲型噪声有很好的去掉。因为脉冲点都是突变的点，排序以后输出中值，那么那些最大点和最小点 就可以去掉了。中值滤波对高斯噪音效果较差。

图像增强

有时候感觉图像增 强与图像去噪是一对矛盾的过程，图像增强经常是需要增强图像的边缘，以获得更好的显示效果，这就需要增加图像的高频分量。而图像去噪是为了消除图像的噪 音，也就是需要抑制高频分量。有时候这两个又是指类似的事情。比如说，消除噪音的同时图像的显示效果显著的提升了，那么，这时候就是同样的意思了。

    注意：有时对图像的一些滤波操作要转换到频域来，是因为频域的计算时间快，其时间复杂度是：Nlog(N)；而时域的时间复杂度是：N^2,耗时长。在opencv1书上有写，其在P205.