多项式运算是数学中最基本的运算之一。在高等代数中，多项式一般可表示为以下形式：

对于这种表示形式，很容易用它的系数向量来表示，即

在MATLAB中正是用这样的系数向量来表示的。

一、多项式的构造

由以上分析可知，多项式可以直接用向量表示。因此，构造多项式最简单的方法就是直接输入向量。这种方法通过函数poly2sym来实现。其调用格式如下：

poly2sym(p)

其中p为多项式的系数向量。

>> p = [1 -2 5 6];
>> poly2sym(p)
 
ans =
 
x^3-2*x^2+5*x+6
 
 
>> 

另外，也可以用多项式的根生成多项式。这种方法使用poly函数生成系数向量，再调用poly2sym函数生成多项式。

>> root = [-5 3+2i 3-2i];
>> p = poly(root)

p =

     1    -1   -17    65

>> poly2sym(p)
 
ans =
 
x^3-x^2-17*x+65
 
 
>> 

二、多项式的运算方法

1.多项式的四则运算

多项式的四则运算主要是多项式的加、减、乘、除运算。需要注意的是相加、减的两个向量必须大小相等。阶次不同时，低阶多项式必须用零填补，使其与高阶多项式有相同的阶次。多项式的加、减运算用“+”、”－”来实现，多项式的乘法用函数conv(p1,p2)来实现，相当于执行两个数组的卷积。多项式的除法用函数deconv(p1,p2)来实现，相当于执行两个数组的解卷。

>> p1 = [2 3 4 0 -2];
>> p2 = [0 0 8 -5 6];
>> p = p1 + p2;
>> poly2sym(p)
 
ans =
 
2*x^4+3*x^3+12*x^2-5*x+4
 
 
>> q = conv(p1, p2)

q =

     0     0    16    14    29    -2     8    10   -12

>> poly2sym(q)
 
ans =
 
16*x^6+14*x^5+29*x^4-2*x^3+8*x^2+10*x-12

>> p1 = [2 3 4 0 -2]

p1 =

     2     3     4     0    -2

>> p2 = [1 3 5]

p2 =

     1     3     5

>> p = deconv(p1, p2)

p =

     2    -3     3

>> poly2sym(p)
 
ans =
 
2*x^2-3*x+3
 
 
>> 

2.多项式的导数运算

多项式的导数运算用函数polyder来实现。其调用格式为：

polyder(p)

其中p为多项式的系数向量。

>> p = [4 3 2 1];
>> poly2sym(p)
 
ans =
 
4*x^3+3*x^2+2*x+1
 
 
>> q = polyder(p)

q =

    12     6     2

>> poly2sym(q)
 
ans =
 
12*x^2+6*x+2
 
 
>> 

3.估值运算

多项式的估值运算用

调用格式                                                          说明

polyval(p,s)                                                     p为多项式的系数向量，s为向量或者矩阵，它是按数组运算规则来求多项式的值

polyvalm(p,s)                                                  p为多项式的系数向量，s为方阵，它是按矩阵运算规则来求多项式的值

>> p1 = [2 5 0 4 1 4];
>> h = polyval(p1, [2 5])

h =

         166        9484

>> j = polyval(p1, [2 5;1 2])

j =

         166        9484
          16         166

>> k = polyvalm(p1, [2 5;1 2])

k =

        2211        4935
         987        2211

>> help polyvalm
 POLYVALM Evaluate polynomial with matrix argument.
    Y = POLYVAL(P,X), when P is a vector of length N+1 whose elements
    are the coefficients of a polynomial, is the value of the
    polynomial evaluated with matrix argument X.  X must be a 
    square matrix. 
 
        Y = P(1)*X^N + P(2)*X^(N-1) + ... + P(N)*X + P(N+1)*I
 
    Class support for inputs p, X:
       float: double, single
 
    See also polyval, polyfit.

    Reference page in Help browser
       doc polyvalm



>> 

4.求根运算

求根运算用函数roots。

>> p1

p1 =

     2     5     0     4     1     4

>> poly2sym(p1)
 
ans =
 
2*x^5+5*x^4+4*x^2+x+4
 
 
>> r = roots(p1)

r =

  -2.7709          
   0.5611 + 0.7840i
   0.5611 - 0.7840i
  -0.4257 + 0.7716i
  -0.4257 - 0.7716i

>> 

三、多项式拟合

多项式拟合用polyfit函数来实现，其调用格式如下：

调用格式                                                                         说明

polyfit(x,y,n)                                                                 表示二乘法对已知数据x、y进行拟合，以求得n阶多项式系数向量

[p,s]=polyfit(x,y,n)                                               p为拟合多项式系数向量，s为拟合多项式系数向量的信息结构

x =

         0    0.1571    0.3142    0.4712    0.6283    0.7854    0.9425    1.0996    1.2566    1.4137    1.5708

>> y = sin(x)

y =

         0    0.1564    0.3090    0.4540    0.5878    0.7071    0.8090    0.8910    0.9511    0.9877    1.0000

>> [p,s] = polyfit(x,y,5)

p =

    0.0057    0.0060   -0.1721    0.0021    0.9997    0.0000


s = 

        R: [6x6 double]
       df: 5
    normr: 1.6712e-005

>>