reference：claim 1 from https://web.archive.org/web/20170808113642id_/http://www.ece.mcmaster.ca/faculty/davidson/pubs/Sidiropoulos_etal_Multicast.pdf

符号：

$a^H:$ 向量$a$的共轭转置；$|a|$：复数$a$的模长； $||a||$：向量$a$的范数$(\sqrt{a^{H}a})$

问题背景：

考虑一个场景：一个有$N$个天线元件的发射机希望向$M$个有单一天线的接收器发送信息。设${\mathbf{h}}_i$表示$N\times 1$维的复向量，该复向量模拟从每个发射天线到用户 i ∈ { 1 ， … , M } i \in\{1， \ldots, M\} i∈{1，…,M}的接收天线的频率平坦准静态信道的传播损耗和相移。设$w^H$表示应用于发射天线单元的波束形成权向量。如果要传输的信号均值为0，方差为单位1，并且在接收器$i$处的噪声是均值为0，方差${\sigma }_i^2$的白噪声，那么$i$第一个用户的接收器SNR（信噪比）为${\left|w^H{h}_i\right|}^2/{\sigma }_i^2$。在设计发射机时，我们希望在给定每个用户可以接受的信噪比下界 { ρ i } i = 1 M \{\rho_i\}_{i=1}^M {ρi​}i=1M​的前提下最小化发射单元的能量消耗$w^{H}w$。将$h_i$做归一化，我们得到如下所示的QoS问题。

QoS问题：

$$\begin{gathered} \underset{w\in {\mathbb{C}}^N}{\min }{w}^{H}w \\ s.t.|w^H{h}_i|\ge 1,i=1,...,M \end{gathered}$$

目标：证明QoS（Quality of Service）问题在$M\ge N$时是NP-hard的：

证明：

定义$H=[h_1,...,h_M]$。定义$z^H=w^{H}H$，则当$H$行满秩时，$w^H=z^H{H}^{†}$，其中$H^{†}=H^H(H{H}^H{)}^{-1}$为$H$的右逆。定义$Q=H^{†}(H^{†}{)}^H$，则以上问题等价于：
$$\begin{gathered} \underset{z\in {\mathbb{C}}^N}{\min }{z}^{H}Qz \\ s.t.|z_k|\ge 1,k=1,...,M \end{gathered}$$
下面我们证明该问题是NP-hard的：

我们考虑将一个著名的NP-hard的分划问题（PARTITION）归约到这个问题上：
$$\text{给定}{a}_1,...,a_P>0,\text{判定是否存在集合I为[P]的子集：∑k∈Iak=21∑k=1Pak}$$
定义$M=2P+1$及复值向量$z=[z_0,...,z_{2P+1}]\in {\mathbb{C}}^M$

定义$a=[a_1,...,a_P{]}^T,A:=\left[\begin{array}{ccc}-1_P& {\mathbf{I}}_P& {\mathbf{I}}_P\\ -\frac{1}{2}{1}_P^T\mathbf{a}& {\mathbf{a}}^T& 0_P^T\end{array}\right],Q:={\mathbf{A}}^T\mathbf{A}+{\mathbf{I}}_M$

从而，根据任意$k,|z_k|\ge 1$：$z^{T}Qz=||Az|{|}^2+{\sum }_{k=0}^{2P}|z_i{|}^2\ge 2P+1=M$

因此，$z^{T}Qz=M$当且仅当$Az=0$且$|z_k|=1,\forall k$，当且仅当：
$$\begin{array}{rl}-z_0+z_k+z_{P+k}& =0,k=1,\dots ,P\\ -\frac{1}{2}\left(\sum _{k=1}^P{a}_k\right)z_0+\sum _{k=1}^P{a}_k{z}_k& =0,\\ |z_k|=1,\forall i\in [k]& \end{array}$$
因此，不妨设$z_k=e^{i{\theta }_k}{z}_0$，从而有：$\forall k\in [P]$
$$\begin{array}{r}\cos {\theta }_k+\cos {\theta }_{P+k}=1\\ \sin {\theta }_k+\sin {\theta }_{P+k}=0\end{array}$$
这表明，$\forall k\in [P]$， θ k ∈ { − π / 3 , π / 3 } \theta_k\in \{-\pi/3,\pi/3\} θk​∈{−π/3,π/3}，且$\cos {\theta }_k=1/2,\forall k$

因此，必然有$\mathrm{Re}\left\{-\frac{1}{2}\left({\sum }_{k=1}^P{a}_k\right)+{\sum }_{k=1}^P\frac{a_k{z}_k}{z_0}\right\}=0\text{. }$

因此，$-\frac{1}{2}\left({\sum }_{k=1}^P{a}_k\right)z_0+{\sum }_{k=1}^P{a}_k{z}_k=0$当且仅当$\begin{array}{rl}\mathrm{Im}\left\{-\frac{1}{2}\left(\sum _{k=1}^P{a}_k\right)+\sum _{k=1}^P\frac{a_k{z}_k}{z_0}\right\}& =\mathrm{Im}\left\{\sum _{k=1}^P\frac{a_k{z}_k}{z_0}\right\}=\sum _{k=1}^P{a}_k\sin {\theta }_k=0\end{array}$

由于$\sin {\theta }_k\in \pm \sqrt{3}/2$，我们得到 I = { k ∣ θ k = π / 3 } I=\{k|\theta_k=\pi/3\} I={k∣θk​=π/3}

从而，根据该QoS实例的输出结果是否为$M$，我们可以判定输入的分划问题是否可以分划，从而我们得到一个PARTITION到QoS的多项式归约，因此QoS是NP-hard的。