前言

博主在本科期间并未学过信号与系统这门课程，且之前的高数复变电路都是60飘过，因此直到考研期间学习信号与系统一时间感觉一窍不通，许多地方不能理解，再加上我们所用参考教材是本校老师编写，并非奥郑吴“三大名著”，书中不少内容描述混乱甚至错误，给我的信号学习过程增加了不少困难，因此我想把学习过程中遇到的问题以及我的理解分享给大家，希望能帮助到在学习过程中遇到问题的同学。

自然/受迫响应、零输入/零状态响应及系统初始状态

不少同学第一次学习信号与系统时都会遇到类似问题：自然/受迫响应是什么？零输入/零状态响应又是什么？它们与数学中微分方程的齐次通解和非齐次特解的关系是什么？为什么系统的初始状态y(0-)和y(0+)会不相等？带入系统初始状态值的时候究竟应该带y(0-)还是y(0+)？

要搞明白这些问题，首先要明白系统值在0的左右时刻为何会出现不等的情况。

系统的初始状态

对于系统，输入设为x(t)，输出设为y(t)，则系统的输入输出对应关系为

x(t)  →  y(t)

通常我们把系统的输入输出关系描述为微分方程形式，如

而系统的初始状态是系统隐含的一个约束条件，因为系统的输出并非只取决于系统的输入，还受系统内部的初始状态影响。在输入施加到系统时刻(即0时刻)之前，系统从过去到初始时刻累积的系统能量即为系统的初始状态(也叫系统的初始储能)。也就是说，给到系统的输入信号与系统的初始量共同作用产生了系统的全部响应。举一个最简单的例子，在有电容的电路系统中，系统通电之前可能电容已经充电，则系统就自带了一部分初始储能，那么系统就会有一个初值，它会和给到系统的输入电压共同作用得到全部响应。

将系统的初始状态描述为0时刻的系统值，即y(0)，那么问题来了，为什么会出现在0-和0+时刻系统初值不同的现象呢？这就与输入信号有密切的关系。

我们知道，在信号与系统中有一类奇异函数，其中最常用的是单位冲激信号δ(t)和单位阶跃信号u(t)，在系统的微分方程中，有阶跃就有可能有冲激，有冲激就有可能有阶跃，这是因为它们是微分与积分的关系。

当系统输入包含u(t)时，方程中的微分项便会出现δ(t)，而δ(t)可以在瞬间改变系统的初始状态。

因此0-时刻为系统真正的初始储能，0+时刻的初值除系统初始储能外还包括了输入带来的瞬时改变值。

系统微分方程的时域求解

在信号与系统中系统的微分方程与数学中解微分方程一样，包括通解和特解两部分组成，通常通解通过特征方程求特征根得到一般形式，特解根据输入形式直接设出。

特解直接带入微分方程确定系数，随后将系统初始状态带入全解(通解+特解)，确定通解部分的系数。注意，此处的系统初始状态应该带入y(0+)。(对于0-和0-时刻在带入时应当如何处理，稍后一并总结对比。)

系统的响应构成

对于LTI系统响应的描述有三种形式，系统的全部响应=

齐次解+特解

自然响应+受迫响应

零输入响应+零状态响应

首先明确一点，齐次解/特解与自然/受迫响应是相同的成分的不同名称，也就是说，齐次解就是自然响应，特解就是受迫响应。

然后就是自然/受迫响应与零输入/零状态响应的关系。先给出结论，自然响应≠零输入响应(相应地，受迫响应≠零状态响应)，且它们之间的关系应为：零输入响应是自然响应的一部分，自然响应的另一部分和受迫响应组成了系统的零状态响应。

对于某些教材中描述的自然响应就是零输入响应的说法是错误的。如：

以及

 (至于这是哪本教材，只能说懂得都懂，对比一下自己课本对应内容便知)

零输入响应与自然响应

系统的零输入响应是假定系统在零输入条件下得到的响应，因此与系统输入无关。

系统的零状态响应是假定系统在零初始状态下得到的响应，因此与系统初值无关。

在形式上，零输入响应拥有和自然响应(通解)相同的形式，而参数值不同。那么在时域求解零输入响应时，便可以先根据特征方程的根设出形式，随后确定参数，不同的是，在零输入条件下，不必再设特解形式，只需将初始状态带入这个“形式通解”即可确定参数。

又因为系统的零输入条件，没有输入就不会有初始状态的跳变，因此求零输入响应时，0-和0+时刻的初值是相等的，带入y(0-)与y(0+)均可，可以直接带入y(0-)。

(为什么这里多说一句可以带入0-呢?因为在考试题目中通常给出的是y(0-)，如果要求y(0+)，要么用冲激函数配平，要么用初值定理，若可以带入y(0-)又何须再求y(0+)。)

至于受迫响应和零状态响应，前者即为微分方程全解中的特解部分，后者一般无法通过微分方程时域求解法得到，通常在时域通过输入信号卷积单位冲激响应的方法得到，或将方程变换到频域求解后反变换到时域得到，此处不做过多叙述。

总结

对零输入响应和自然响应总结如下

从概念上
1.自然响应与零输入响应都满足微分方程通解形式。
2.自然响应由系统初始状态决定，这里的系统初始状态包括了系统原本的储能和输入带来的瞬时改变，为 y(0+)。这也是为何求解自然响应需要根据输入设出特解后一并确定参数。
3.零输入响应假定了零输入条件，由系统的初始状态决定，这里的初始状态仅为系统原本的储能。
4.零输入响应是自然响应的一部分，自然相应的另一部分和受迫响应组成了系统的零状态响应。

从计算上
1.自然响应与零输入响应形式都根据特征方程的根设出。
2.通过输入设定特解，全解=通解+特解，带入y(0+)确定参数，得到的确定参数的通解部分即为自然响应。
3.直接将y(0+)或y(0-)带入通解形式即可得到零输入响应。

至此，大家应该就可以更好d理解郑君里《信号与系统》第三版 上册 p60-61内容：

齐次解的函数特性仅依赖于系统本身，与激励信号的函数形式无关，因而称为系统的自由响应（或固有响应）。但应注意，齐次解的系数 A 仍与激励信号有关。

(p60)

（1）自由响应和零输入响应都满足齐次方程的解。
（2）然而，它们的系数完全不同。零输入响应的系数仅由起始储能情况决定，而自由响应的系数要同时依从于起始状态和激励信号。
（3）自由响应由两部分组成，其中，一部分由起始状态决定，另一部分由激励信号决定。二者都与系统自身参数密切关联。

(p61)

 以上皆为博主学习过程感悟，用以帮助学习信号过程中遇到困惑的同学，本人水平有限，错误不足之处还请指正交流~