罗德里格斯公式（Rodrigues Formula）

罗德里格斯公式推导过程

默_存

13889人浏览 · 2022-04-04 12:14:01

默_存 · 2022-04-04 12:14:01 发布

罗德里格斯公式（Rodrigues’s Formula）

摘要：罗德里格斯公式推导过程。主要参考Krasjet的文档，写的非常详细，如果想看更加详细的过程，建议去看看文档。这里主要做了简洁浓缩，方便快速查看。

一、轴角（Axis-Angle）的介绍

采用一个旋转轴u和一个旋转角度θ来刻画旋转。

比如：
我们有一个经过原点的（如果旋转轴不经过原点我们可以先将旋转轴平移到原点，进行旋转，再平移回原处）旋转轴 $u = (𝑥, 𝑦, 𝑧) ^{T}$ ，我们希望将一个向量 $v$ ，沿着这个旋转轴旋转 $θ$ 度，变换到 $v'$ ：
在这里插入图片描述
为了消除旋转轴 u 模长这个多余的自由度，我们可以规定旋转轴 u 的模长为 $=\sqrt{𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 } = 1$ ，也就是说 u 是一个单位向量。

二、旋转的分解

我们可以将 $v$ 分解为平行与旋转轴，以及垂直于旋转轴的两个分量， $v ∥$ 和 $v ⊥$ 。
$v = v ∥ + v ⊥$
然后分别旋转这两个分向量，再将它们旋转的结果相加，获得旋转后的向量。
$v' = v' ∥ + v' ⊥$
在这里插入图片描述

2.1 平行量的旋转

平行量的旋转，前后不变
$v' ∥ = v ∥$
$v ∥$ 其实就是 v 在 u 上的正交投影 (Orthogonal Projection)，根据正交投影的公式，我们可以得出：
$v ∥ = (u \cdot v) u$

2.2 垂直量的旋转

$v ⊥$ 正交于 $u$ 的，这个旋转可以看做是平面内的一个旋转。因为旋转不改变 v ⊥ 的长度，所以路径是
一个圆。下面是这个旋转的示意图，右侧的为俯视图。
在这里插入图片描述
现在，3D 的旋转就被我们转化为了 2D 平面上的旋转。由于在这个平面上我们只有一个向量 $v ⊥$ ，用它来表示一个旋转是不够的，我们还需要构造一个同时正交于 $u$ 和 $v ⊥$ 的向量 $w$ ，这个可以通过叉乘来获得：
$\\ ∥w∥ = ∥u × v ⊥ ∥=∥u ∥.∥ v ⊥ ∥. sin(π/2)=∥ v ⊥ ∥$
也就是说， $w$ 和 $v ⊥$ 的模长是相同的，所以，w 也位于圆上。
有了这个新的向量 $w$ ，就相当于我们在平面内有了两个坐标轴。
我们现在可以把 $v' ⊥$ 投影到 $w$ 和 $v ⊥$ 上，将其分解为 $v_{𝑣} ′$ 和 $v_{𝑤} ′$ 。使用一点三角学的知识我们就能得到：
$v ′⊥ = v_{𝑣} ′ + v_{𝑤} ′ = cos( θ )v ⊥ + sin( θ )w = cos( θ )v ⊥ + sin( θ )(u × v ⊥ )$

三、旋转的合成

将上面的两个结果组合就可以获得：
$v' = v' ∥ + v' ⊥ = v ∥ + c o s (θ) v ⊥ + s i n (θ) (u \times v ⊥)$
由之前的结论，知：
$v ∥ = (u \cdot v) u$
由 $v ∥$ 可以得到 $v ⊥$ ：
$v ⊥ = v - v ∥ = v - (u \cdot v) u$
变换叉乘 $u \times v ⊥$ 得：
$u \times v ⊥ = u \times (v - v ∥) = u \times v - u \times v ∥ = u \times v$

最终组合结果可以变化为：
$v' = c o s (θ) v + (1 - c o s (θ)) (u \cdot v) u + s i n (θ) (u \times v)$
这也就是罗德里格斯公式（Rodrigues’s Formula）：
3D 空间中任意一个 $v$ 沿着单位向量 $u$ 旋转 $θ$ 角度之后的 $v'$ 为：
$v' = c o s (θ) v + (1 - c o s (θ)) (u \cdot v) u + s i n (θ) (u \times v)$