【自控笔记】6.5 离散系统的稳定性分析

一、离散系统稳定的充要条件

线性连续系统的稳定的充要条件是特征方程的根全部位于左半s平面。在离散系统中，根据s平面与z平面之间的映射关系：$s=j\omega ,z=e^{j\omega T}$, 可以知道离散系统中的稳定域为以原点为圆心的单位原内。

二、劳斯稳定判据
在离散中，系统的稳定边界是单位圆边缘，而不是虚轴。因此，要使用劳斯判据进行系统稳定性判定，需要引入一种映射$z=\frac{w+1}{w-1}$，将单位圆内的区域映射到w平面的左半平面，这种变换称为双线性变换。

将特征式$D(z)$变换成$D(w)$就可以使用劳斯判据了。

三、离散系统的稳态误差分析

不同类型系统在不同输入下的稳态误差如下表所示：

其中，
$$K_p=\underset{z\to 1}{\lim }\left[1+G\left(z\right)\right]$$

$$K_v=\underset{z\to 1}{\lim }\left[\left(z-1\right)G\left(z\right)\right]$$

$$K_a=\underset{z\to 1}{\lim }\left[{\left(z-1\right)}^{2}G\left(z\right)\right]$$

$G(z)$为离散系统开环脉冲传递函数。