1.幺元（单位元)∶定义:
设*是集合Z中的二元运算，
(1)若有一元素el∈Z，对任一x∈Z有el*x=x;则称e1为Z中对于*的左幺元(左单位元素)

(2）若有一元素erEZ，对任一x∈Z有x*er=x;则称er为Z中对于*的右幺元(右单位元素)
定理:
若el和er分别是Z中对于*的左幺元和右幺元，则对于每一个x∈Z，可有el=er=e和e*x=x*e=x,则称e为Z中关于运算*的幺元，且e∈Z是唯一的。
2.零元定义:
设*是对集合Z中的二元运算，
(1)若有一元素0ez，且对每一个xeZ有0*x=e，则称e为Z中对于*的左零元;

(2）若有一元素0r ez，且对每一个xeZ有x*0r= 0r，则称0为Z中对于*的右零元。(零元不存在逆元)
定理:
若el和er分别是Z中对于*的左零元和右零元，于是对所有的xeZ，可有el=Or=0，能使0*x=x*O=0。在此情况下，0∈Z是唯一的，并称0是Z中对*的零元。
3.逆元定义:
设*是Z中的二元运算，且Z中含幺元e，令x∈z,
(1）若存在一xl∈Z，能使xl*x=e，则称xl是x的左逆元，并且称x是左可逆的;

(2）若存在一xr∈Z，能使x*xr=e，则称xr是x的右逆元，并且称x是右可逆的;

(3）若元素x既是左可逆的，又是右可逆的，则称x是可逆的，且x的逆元用x1表示。
定理:
设Z是集合，并含有k元e。*是定义在Z上的一个二元运算，并且是可结合的。若x∈Z是可逆的，则它的左逆元等于右逆元，且逆元是唯一的。

理解：逆元是针对某一个元素而言的，换句话说，代数系统a和b里面，a有逆元，不代表不有逆元。

并且和幺元相关，换句话说，代数系统里面必须有幺元，才能去谈逆元。

逆元*元素=幺元。（*为任意符号）