数学建模——长方形椅子放稳问题

问题：长方形（四角连线呈长方形）的椅子可以在地面上放稳吗？把椅子放在地面上，只用稍微挪动几下就可以放稳了。试建立数学模型证明。

1.模型假设
（1）椅子：长方形，四条腿一样长，椅脚与地面接触可视为一点，四角的连线呈长方形。
（2）地面：高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（可视为连续曲面）。
（3）动作：将椅子放在地面上，对于椅脚的间距和椅脚长度而言，地面是相对平坦的，即椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。

2.模型建立
（1）椅子位置的描述
根据假设（1），椅脚连线呈长方形，与地面接触可视为一点。现设四个椅脚分别为A,B,C,D，以AC与BD连线的交点为原点，AC为X轴建立平面直角坐标系，设OA与X轴的夹角为θ，因为长方形的旋转可代表椅子位置的改变，则旋转角度θ这一变量可表示椅子的位置。如图1所示。
设f(θ)为A,C两椅脚与地面的距离和，g(θ)为B,D两椅脚与地面的距离和。
（2）模型
根据假设（2），f,g都是连续函数。
根据假设（3），椅子在任何位置至少有三个角同时着地，因此对于任意的θ，f(θ)，g(θ)总有一个为0。
不妨设θ等于0时A,B,C三角同时着地，则此时f(θ)=0，g(θ)>0。
因此，改变椅子的位置使得四个角同时着地就归结为证明如下的数学命题：
已知f(θ)，g(θ)是θ的连续函数，对任意的θ，f(θ)g(θ)=0,且f(θ)=0,g(θ)>0。证明存在θ’使得f(θ’)=g(θ’)=0。

3.模型求解
令h(θ)=f(θ)-g(θ),则h(θ)为连续函数，且h(0)<0。
存在θ1使得矩形ABCD旋转θ1时有新对角线B1D1与原对角线AC重合。
记新的矩形为A1B1C1D1。此时f(θ1)>0,g(θ1)=0。h(θ1)>0。
于是h(θ)为闭区间[0,θ1]上的连续函数，其端点异号。由零点存在定理，得存在θ’使h(θ’)=0。因为对任意θ，f(θ)g(θ)=0，所以f(θ’)=g(θ’)=0。
结论：椅子一定能放稳。

注：此题求解方法不唯一，也可以令f(θ)为A,B两点离地面的距离和，g(θ)为C,D两点离地面的距离和，然后通过旋转使得OA与OC重合，进一步利用零点存在定理进行求解。