本文涉及到信号处理的基本知识，主要为图像处理与模式识别打基础。

信号的定义

定义及数学表示

• 信号是一种随时间或空间变化的物理现象或物理量
  – 如声音、图像、视频等
• 信号的表示：
  – 可以由一个或多个独立变量构成的函数来表示
• 一维声音信号$A(t)$ 、二维图像信号 $I(x,y)$、三维视频
  信号 $V(x,y,t)$
  – 绘出函数的图像称为信号的波形
  – 各种变换、频谱分析等

分类

• 信号在不同的规则下具有不同的分类方式
  – 确定性信号与随机信号
  – 奇信号与偶信号
  – 一维信号和多维信号
  – 连续时间信号和离散时间信号
  – 周期信号和非周期信号
  – 模拟信号和数字信号
  具体分类依据不再展开，可参考其他网络资料

信号的基本运算

这些了解即可

• 移位（时移或延时）$$F(t)=f(t-t_0)$$
• 反转变换（反褶）$$F(t)=f(-t)$$
• 尺度变换（压缩与扩展）$$F(t)=f(at)$$
• 微分与积分$$\begin{gathered} F(t)=f^{\prime }(t)=\frac{d}{dt}f(t) \\ F(t)={\int }_{-\infty }^{t}f(\tau )d\tau \end{gathered}$$
• 加法与乘法$$\begin{gathered} F(t)=f_1(t)+f_2(t) \\ F(t)=f_1(t)\ast f_2(t) \end{gathered}$$
• 基本信号分解。下面将具体介绍。

信号的分解

• 为了便于研究信号的传输和处理问题，往往将信
  号分解为一些简单(基本)的信号之和
• 分解角度不同，可以分解为不同的分量
  – 直流与交流分解：直流分量与交流分量
  – 奇偶分解：偶分量与奇分量
  – 虚数的虚实分解：实部分量与虚部分量
  – 脉冲分解：脉冲分量
  – 正交分解：正交函数分量

信号的脉冲分解

脉冲函数

脉冲函数也称$\delta$函数。若在一维空间中，自变量为时间 $t$的函数，满足下述两个条件:


把满足上述两个条件的函数称为函数$\delta$，记作$\delta (t)$。$\delta$函数是一种广义函数，也可以扩展到多维空间中，它的确切意义应该在积分运算下理解：其积分曲线高度为“无限高”，而宽度为“无限窄”，曲线下的面积等于1。因此，$\delta$函数有下述关系式

脉冲函数的性质

性质一：偶函数

显而易见，不做赘述

性质二：积分得到阶跃函数

设$u(t)$为单位阶跃函数，即

则有


脉冲函数与阶跃函数都具有比较好的性质，接下来通过阶跃函数，推导出性质三：筛选性质。

性质三：筛选性质

矩形脉冲

将一个信号用矩形脉冲来逼近

当$t=\tau$时，脉冲高度为$f(\tau )$，脉宽为$\Delta \tau$，则此窄脉冲可表示为 $f(\tau )[u(t-\tau )-u(t-\tau -\Delta \tau )]$.
这个窄脉冲（矩形脉冲）可以好好体会一下。
得到了一个窄脉冲基于阶跃函数的表示，那么整个信号的表示只需要对$\tau$求和。

至此，我们回到了用$\delta$表示一个信号，得到公式
这就是筛选性质，同时，原信号被分解，这就是脉冲分解。

信号的正交分解

• 如果用正交函数集来表示一个信号，那么，组成信号的各分量就是相互正交的
• 正交分解是傅里叶变换、余弦变换等的基础

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