1、 时间序列 取自某一个随机过程，如果此随机过程的随机特征不随时间变化，则我们称过程是平稳的；假如该随机过程的随机特征随时间变化，则称过程是非平稳的。

2、 宽平稳时间序列的定义：设时间序列 ，对于任意的 , 和 ，满足：

则称 宽平稳。

3、Box-Jenkins方法是一种理论较为完善的统计预测方法。他们的工作为实际工作者提供了对时间序列进行分析、预测，以及对ARMA模型识别、估计和诊断的系统方法。使ARMA模型的建立有了一套完整、正规、结构化的建模方法，并且具有统计上的完善性和牢固的理论基础。

4、ARMA模型三种基本形式：自回归模型(AR：Auto-regressive)，移动平均模型(MA：Moving-Average)和混合模型(ARMA：Auto-regressive Moving-Average)。

(1) 自回归模型AR(p)：如果时间序列 满足

其中 是独立同分布的随机变量序列，且满足：

，

则称时间序列 服从p阶自回归模型。或者记为 。

平稳条件：滞后算子多项式 的根均在单位圆外，即 的根大于1。

(2) 移动平均模型MA(q)：如果时间序列 满足

则称时间序列 服从q阶移动平均模型。或者记为 。

平稳条件：任何条件下都平稳。

(3) ARMA(p,q)模型：如果时间序列 满足

则称时间序列 服从(p,q)阶自回归移动平均模型。或者记为 。

特殊情况：q=0,模型即为AR(p)，p=0, 模型即为MA(q)。

二、时间序列的自相关分析

1、自相关分析法是进行时间序列分析的有效方法，它简单易行、较为直观，根据绘制的自相关分析图和偏自相关分析图，我们可以初步地识别平稳序列的模型类型和模型阶数。利用自相关分析法可以测定时间序列的随机性和平稳性，以及时间序列的季节性。

2、自相关函数的定义：滞后期为k的自协方差函数为： ，则 的自相关函数为： ，其中 。当序列平稳时，自相关函数可写为： 。

3、 样本自相关函数为： ，其中 ，它可以说明不同时期的数据之间的相关程，其取值范围在-1到1之间，值越接近于1，说明时间序列的自相关程度越高。

4、 样本的偏自相关函数：

其中， 。

5、 时间序列的随机性，是指时间序列各项之间没有相关关系的特征。使用自相关分析图判断时间序列的随机性，一般给出如下准则：

①若时间序列的自相关函数基本上都落入置信区间，则该时间序列具有随机性；

②若较多自相关函数落在置信区间之外，则认为该时间序列不具有随机性。

6、 判断时间序列是否平稳，是一项很重要的工作。运用自相关分析图判定时间序列平稳性的准则是：①若时间序列的自相关函数 在k>3时都落入置信区间，且逐渐趋于零，则该时间序列具有平稳性；②若时间序列的自相关函数更多地落在置信区间外面，则该时间序列就不具有平稳性。

7、 ARMA模型的自相关分析

AR(p)模型的偏自相关函数 是以p步截尾的，自相关函数拖尾。MA(q)模型的自相关函数具有q步截尾性，偏自相关函数拖尾。这两个性质可以分别用来识别自回归模型和移动平均模型的阶数。ARMA(p,q)模型的自相关函数和偏相关函数都是拖尾的。

三、单位根检验和协整检验

1、单位根检验

①利用迪基—福勒检验( Dickey-Fuller Test)和菲利普斯—佩荣检验(Philips-Perron Test),我们也可以测定时间序列的随机性，这是在计量经济学中非常重要的两种单位根检验方法，与前者不同的事，后一个检验方法主要应用于一阶自回归模型的残差不是白噪声，而且存在自相关的情况。

②随机游动

如果在一个随机过程中， 的每一次变化均来自于一个均值为零的独立同分布，即随机过程 满足： ， ，其中 独立同分布，并且：

，

称这个随机过程是随机游动。它是一个非平稳过程。

③单位根过程

设随机过程 满足： ， ，其中 ， 为一个平稳过程并且 ， ， 。

2、协整关系

如果两个或多个非平稳的时间序列，其某个现性组合后的序列呈平稳性，这样的时间序列间就被称为有协整关系存在。这是一个很重要的概念，我们利用Engle-Granger两步协整检验法和Johansen协整检验法可以测定时间序列间的协整关系。

四、ARMA模型的建模

1、模型阶数的确定

①基于自相关函数和偏相关函数的定阶方法

对于ARMA(p,q)模型，可以利用其样本的自相关函数 和样本偏自相关函数 的截尾性判定模型的阶数。

具体方法如下：

i、对于每一个q,计算 ， ，…， (M取为 或者 )，考察其中满足 或者 的个数是否占M个的68.3%或者95.5%。如果 ， 都明显地异于零，而 ， ，…， 均近似于零，并且满足上述不等式之一的 的个数达到其相应的比例，则可以近似的判定 是 步截尾，平稳时间序列 为MA( )。

ii、类似，我们可通过计算序列 ，考察其中满足 或者 的个数是否占M个的68.3%或者95.5%。即可以近似的判定 是 步截尾，平稳时间序列 为AR( ).

iii、如果对于序列 和 来说，均不截尾，即不存在上述的 和 ，此时属于情况iii，则可以判定平稳时间序列 为ARMA模型。

此外常用的方法还有：②基于F-检验确定阶数；③利用信息准则法定阶(AIC准则和BIC准则)

2、模型参数的估计

①初估计

i、 AR(p)模型参数的Yule-Walker估计

特例：对于一阶自回归模型AR(1)， ，对于二阶自回归模型AR(2)， ， 。

ii、MA(q)模型参数估计

特例：对于一阶移动平均模型MA(1), ，对于二阶移动平均模型MA(2)， ， 。

iii、ARMA(p,q)模型的参数估计

模型很复杂，一般利用统计分析软件包完成。

②精估计

ARMA(p,q)模型参数的精估计，一般采用极大似然估计，由于模型结构的复杂性，无法直接给出参数的极大似然估计，只能通过迭代方法来完成，这时，迭代初值常常利用初估计得到的值。

3、ARMA(p,q)序列预报

设平稳时间序列 是一个ARMA(p,q)过程，则其最小二乘预测： 。

i、AR(p)模型预测

，

ii、ARMA(p,q)模型预测

，其中 。

iii、预测误差

预测误差为： 。l步线性最小方差预测的方差和预测步长l有关，而与预测的时间原点t无关。预测步长l越大，预测误差的方差也越大，因而预测的准确度就会降低。所以一般不能用ARMA(p,q)作为长期预测模型。

iv、预测的置信区间

预测的95%置信区间：

不知道对你有没帮助