逆矩阵和伴随矩阵（Inverse matrix and adjoint matrix）

努力的老周

30319人浏览 · 2020-11-24 16:40:23

努力的老周 · 2020-11-24 16:40:23 发布

定义

伴随矩阵

记为 A^* 。

余子式

A 关于第 i 行第 j 列的余子式（记作 $M_{ij}$ ）是去掉 A 的第 i 行第 j 列之后得到的 (n − 1)×(n − 1) 矩阵的行列式。

代数余子式

A 关于第 i 行第 j 列的代数余子式（记作 $C_{ij}$ ）为 $(-1)^{i+j}M_{ij}$ 。

余子矩阵

A 的余子矩阵是一个 n*n 的矩阵 C，使得其第 i 行第 j 列的元素是 A 关于第 i 行第 j 列的代数余子式。

伴随矩阵

引入以上的概念后，可以定义：矩阵 A 的伴随矩阵是 A 的余子矩阵的转置矩阵，即 adj(A)=C^T 。简言之，伴随矩阵就是把原来矩阵每一行的代数余子式竖着写，即 $\begin{bmatrix} adj(A) \end{bmatrix}_{ij}=C_{ji}$ 。

例子

一个 2*2 矩阵 $A=\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}$ 的伴随矩阵是 $adj(A)=\begin{bmatrix} d & -b\\ -c & a \end{bmatrix}$ 。

对于 3*3 的矩阵 $A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$ ，其伴随矩阵是 $adj(A)=\begin{bmatrix} +\left \| \begin{bmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} \right \| &-\left \| \begin{bmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33} \end{bmatrix} \right \| &+\left \| \begin{bmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32} \end{bmatrix} \right \| \\ \\ -\left \| \begin{bmatrix} a_{12} & a_{13}\\ a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} \right \| & +\left \| \begin{bmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{31} & a_{33} \end{bmatrix} \right \| &-\left \| \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{31} & a_{32} \end{bmatrix} \right \| \\ \\ +\left \| \begin{bmatrix} a_{12} & a_{13}\\ a_{22} & a_{23} \end{bmatrix} \right \| &-\left \| \begin{bmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{21} & a_{23} \end{bmatrix} \right \| & +\left \| \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \right \| \end{bmatrix}$

性质

$det(adj(A))=det(A)^{n-1}$
$adj(kA)=k^{n-1}adj(A)$
当 n>2 时， $adj(adj(A))=(detA)^{n-2}A$
如果 A 是可逆，那么 $adj(A^{-1})=adj(A)^{-1}=\frac{A}{detA}$

逆矩阵

逆矩阵又称反矩阵。给定一个 n 阶方阵 A，若存在一个 n 阶方阵 B，使得 AB=BA=I_n ，则称 A 是可逆的，逆矩阵记为 $A^{-1}$ 。

只有方阵才可能有逆矩阵。若方阵 A 的逆矩阵存在，则称 A 为非奇异方阵或可逆矩阵。

性质

$(A^{-1})^{-1}=A$
$(\lambda A)^{-1}=\frac{A^{-1}}{\lambda }$
$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
$(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$
$det(A^{-1})=\frac{1}{det(A)}$

矩阵求逆

伴随矩阵法

如果矩阵 A 可逆，则 $A^{-1}=\frac{A^{*}}{\left \| A \right \|}$ 。

$A=\begin{bmatrix} 2 & 7 & 6\\ 9 & 5 & 1\\ 4 & 3 & 8 \end{bmatrix}$ ，求 $A^{-1}$ 。

我们先求 A 的行列式。 $det(A)=\begin{vmatrix} 2 & 7 & 6\\ 9 & 5 & 1\\ 4 & 3 & 8 \end{vmatrix}$ ，由于只是 3 阶方阵，我们可以直接计算。

$det(A)=\begin{vmatrix} 2 & 7 & 6\\ 9 & 5 & 1\\ 4 & 3 & 8 \end{vmatrix}\\=(-1)^{1+1}*2*\begin{vmatrix} 5 & 1\\ 3 & 8 \end{vmatrix}+(-1)^{1+2}*7*\begin{vmatrix} 9 & 1\\ 4 & 8 \end{vmatrix}+(-1)^{1+3}*6*\begin{vmatrix} 9 & 5\\ 4 & 3 \end{vmatrix}\\=-360$ 。

再写出代数余子式。

$C_{11}=(-1)^{1+1}*\begin{vmatrix} 5 & 1\\ 3 & 8 \end{vmatrix}=37$

$C_{12}=(-1)^{1+2}*\begin{vmatrix} 9 & 1\\ 4 & 8 \end{vmatrix}=-68$

$C_{13}=(-1)^{1+3}*\begin{vmatrix} 9 & 5\\ 4 & 3 \end{vmatrix}=7$

$C_{21}=(-1)^{2+1}*\begin{vmatrix} 7 & 6\\ 3 & 8 \end{vmatrix}=-38$

$C_{22}=(-1)^{2+2}*\begin{vmatrix} 2 & 6\\ 4 & 8 \end{vmatrix}=-8$

$C_{23}=(-1)^{2+3}*\begin{vmatrix} 2 & 7\\ 4 & 3 \end{vmatrix}=22$

$C_{31}=(-1)^{3+1}*\begin{vmatrix} 7 & 6\\ 5 & 1 \end{vmatrix}=-23$

$C_{32}=(-1)^{3+2}*\begin{vmatrix} 2 & 6\\ 9 & 1 \end{vmatrix}=52$

$C_{33}=(-1)^{3+3}*\begin{vmatrix} 2 & 7\\ 9 & 5 \end{vmatrix}=-53$

因为对应的伴随矩阵 $A^*=\begin{bmatrix} 37 & -38 & -23\\ -68 & -8 & 52\\ 7 & 22 & -53 \end{bmatrix}$ 。

$A^{-1}=\frac{A^*}{det(A)}=\begin{bmatrix} \frac{37}{-360} & \frac{-38}{-360} & \frac{-23}{-360}\\ \frac{-68}{-360} & \frac{-8}{-360} & \frac{52}{-360}\\ \frac{7}{-360} & \frac{22}{-360} & \frac{-53}{-360} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -\frac{37}{360} & \frac{19}{180} & \frac{23}{360}\\ \frac{17}{90} & \frac{1}{45} & -\frac{13}{90}\\ -\frac{7}{360} & -\frac{11}{180} & \frac{53}{360} \end{bmatrix}$