在学习天线设计过程中，遇到许多经常出现的参数，总结一下避免以后每次都去查找资料。

1、S参数

  S参数的定义是两个复数之比，它包含有关信号的幅度和相位的信息。它的表示形式是：S输出端口号 输入端口号，如$S_{11}$、$S_{12}$、$S_{21}$、$S_{22}$等等。$S_{11}$表示输出端口是1[端口1的反射波]、输入端口也是1[端口1的入射波]。$S_{11}$表示就是端口1的反射波与入射波之比，这与反射系数Г的定义是一致的。反射系数Г：反射波振幅与入射波振幅的复数比。所以$S_{11}$表示的就是端口1的反射系数，同理$S_{22}$表示的就是端口2的反射系数。$S_{12}$表示从端口2进，从端口1出，表示端口2到端口1的反向传输系数（默认正向是1进2出）；$S_{21}$就是端口1到端口2的正向传输系数。

  双端口网络如图1所示，根据图1我们可以由这两个公式:$b_1=S_{11}\times a_1+S_{12}\times a_2$和$b_2=S_{21}\times a_1+S_{22}\times a_2$；得到它的S参数表达式如表1所示。其中a表示入射波，b表示反射波，$a_1$表示端口1的入射波，$b_2$表示端口2的反射波，DUT表示被测器件，是Device Under Test的简写。单端口网络S参数只有$S_{11}$，表示端口1的反射系数。多端口网络的理解可以类比双端口网络，如$S_{33}$表示端口3的反射系数，$S_{34}$表示端口4到端口3的传输系数。

图1 双端口网络

表1 S参数表达式

S参数	S参数表达式	表达的含义
$S_{11}$	$S_{11}=b_1/a_1$，$a_2=0$	端口2匹配时，端口1的反射系数
$S_{22}$	$S_{22}=b_2/a_2$，$a_1=0$	端口1匹配时，端口2的反射系数
$S_{12}$	$S_{12}=b_1/a_2$，$a_1=0$	端口1匹配时，端口2到端口1的反向传输系数
$S_{21}$	$S_{21}=b_2/a_1$，$a_2=0$	端口2匹配时，端口1到端口2的正向传输系数

  对于无损网络，功率守恒，我们可以得到${\text{S}}_{11}^2{\text{+S}}_{21}^2=1$。这里注意不是幅值之和守恒，也就是${\text{S}}_{11}\text{+}{\text{S}}_{21}\ne 1$。使用CST仿真一个理想的LC带阻滤波器，LC均选择ideal。查看其S11=0.17503584和S21=0.98456202，${\text{S}}_{11}\text{+}{\text{S}}_{21}\text{=1}\text{.15959786}$,${\text{S}}_{11}^2{\text{+S}}_{21}^2\text{=0}\text{.9999=}1$，仿真结果与理论一致。

图2 CST查看带阻滤波器的S参数

2、反射系数

  反射系数Г的定义：反射波振幅与入射波振幅的复数比。反射系数的公式为：$Г=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}=\frac{z_L-1}{z_L+1}$，其中$z_L$是归一化阻抗，$z_L=Z_L/Z_0$。当阻抗匹配时$Z_L=Z_0$，$z_L=1$，那么$Г=0$。

  通常我们是测试到了S11参数，即知道了反射系数来求归一化阻抗。通过上面的式子反推归一化阻抗，

可以由反射系数表示：$z_L=(1+Г)/(1-Г)$。

3、电压驻波比-VSWR

  VSWR(Voltage Standing Wave Radio)即电压驻波比。电压驻波比定义为传输线上最大电压振幅与最小电压振幅之比。变化范围为1~∞。匹配状态为1，全反射为∞。VSWR可以由反射系数表示，公式为$\text{VSWR=}\frac{1+|\Gamma |}{1-|\Gamma |}$，其中Г是反射系数，当$\Gamma >0$时即$Z_L>Z_0$，和归一化阻抗的公式一致，当$\Gamma <0$时即$Z_L<Z_0$，是归一化阻抗的倒数，$\text{VSWR=}\frac{1-\Gamma }{1+\Gamma }=\frac{1}{z_L}$。因为驻波比的取值范围是（1，+∞），而归一化阻抗是有可能小于1的，当$Z_L<Z_0$就是讨论另外一个方向的了，这里不再深究。
  已知VSWR，那么反射系数$\left|\Gamma \right|=\frac{\text{VSWR}-1}{\text{VSWR+}1}$。

4、回损-RL

  回波损耗(RL)的定义为:入射功率/反射功率, 为dB数值。反射系数的定义为：反射电压/入射电压，为小数数值。表示为：$\mathrm{R}\mathrm{L}=10\log \left(\frac{P_{\text{入射 }}}{{\mathrm{P}}_{\text{反射 }}}\right)=10\log {\left(\frac{U_{\text{入射 }}}{{\mathrm{U}}_{\text{反射 }}}\right)}^2=10\log {\left(\frac{1}{\Gamma }\right)}^2=-20\log (\Gamma )$。回波损耗的值在0dB的到无穷大之间，回波损耗越大表示匹配越好。0表示全反射，无穷大表示完全匹配。由上面的式子可以理解：回波损耗是反射系数的倒数换算成分贝表示即20log(1/Г)。
$RL=\left|S_{11}(dB)\right|$
$S_{11}(dB)=20{\log }_{10}\left(\left|S_{11}\right|\right)$

因为$S_{11}(dB)$是负的，所以RL=-$S_{11}(dB)$，所以由RL反推$S_{11}(dB)$时注意加上负号。

  有了回损，我们可以计算传输功率百分比、反射功率百分比，因为是求百分比，我们以入射功率是1来计算，那么RL的百分比形式就是反射功率的百分比，1-RL(%)就是传输功率百分比。

• 百分比形式到dB形式的转换：X%转换成YdB形式的公式：Y=10log(X/100)，以50%为例是-3.01dB。

• dB形式到百分比形式的转换：YdB转换成百分比X%的公式：X=100*10eY/10，以-6.02dB为例就是25%，25%就是反射功率(Power Refl)。1-25%=75%就是传输功率(Power Trans)。

5、换算表

  有了反射系数Г，我们可以根据公式推导出来RL、VSWR等，所以反射系数/$S_{11}$参数是求另外几个参数的基础，反射系数是根据归一化阻抗求得的。我们这里不列举过于详细的换算表，只列举特别的几个，用于说明一些规律。

表2 换算表

电压反射系数Г	Г(dB)	$S_{11}$	回波损耗	驻波比		归一化阻抗$z_L$
1.00	0	1.00	0.00	+∞	全反射点	+∞
0.50	-3.01	0.50	6.02	3.00	半反射点	3
1/3	-4.77	1/3	9.54	2.00
0.10	-10.00	0.10	20.00	1.22	反射$1/10$	1.22
0.01	-20.00	0.01	40.00	1.02	反射$1/100$	1.02
0.00	-∞	0.00	+∞	1.00	匹配点/不反射	1

• 规律1：反射系数系数缩小为原来的1/10，回波损耗RL增加20，这是为什么呢？反射系数是以电压的比值定义的，而回波损耗是以功率定义的，反射的功率等于${\Gamma }^2$，回波损耗的比值就是${\Gamma }^2$，转换成dB形式就是10log(1/Г2)，为什么要求导数，是因为Г是（0，1）,要不然就会是负数。
• 规律2：反射系数系数缩小为原来的1/2，回波损耗RL增加6.02，约等于6dB，这和3dB放大二倍（底数为10时），6dB放大2倍是一样的原因（底数为20时）。
• 规律3：驻波比VSWR和归一化阻抗$z_L$数值是一样的，数值上驻波比就是归一化阻抗，归一化阻抗就是驻波比，所以测试完驻波比就可以得到归一化阻抗$z_L$。
• 规律4：$S_{11}$和电压反射系数Г是一致的。
• 规律5：我们要记住两种近似关系：①、反射系数-3dB约等于VSWR=3:1；②、反射系数-10dB约等于VSWR 1.22:1。
• 规律6：回波损耗RL是反射系数(dB)的-2倍。负号是因为反射系数是反射/入射，RL是入射/反射；2是因为RL是针对功率计算的，反射系数是针对电压计算的，所以RL和反射系数之间有平方关系，求了对数之后就会有一个2倍关系。所以回波损耗RL也可以说：反射系数的倒数换算成分贝表示。

6、反射功率系数

  反射功率系数的定义是反射功率与入射功率之比，结合反射系数的定义反射电压与入射电压之比，所以$P_{Refl}={\Gamma }^2$，转换为百分比形式：$P_{Refl}\left(\%\right)=100\times {\Gamma }^2$。为什么要乘以100是因为是百分比格式，比如0.1对应百分比是10%

7、传输功率系数

  由上面的反射功率系数可知定义为传输功率与入射功率之比，即传输功率系数=1-反射功率系数，当传输功率等于输入功率时，传输功率系数等于1。即$P_{Trans}=1-{\Gamma }^2$，百分比形式要乘以100，原因同上，$P_{Trans}\left(\%\right)=100\times \left(1-{\Gamma }^2\right)$。

8、统一转换

  因为VSWR等于归一化阻抗值，以VSWR为起始量其实也是以归一化阻抗为起始值，使用上面的转换公式组合+逆向推导完成几个参数的相互转换。这里准备后面有时间整理一个表格吧，或者小程序？用以各个参数之间的自动转换。

参考

S参数究竟是什么？

书籍：《Microwave Engineering | Pozar David M.》《Antenna_Design_for_Mobile_Devices | Zhijun_Zhang》

  作为一名即将入行天线的工程师，就放一张天线宝宝作为结尾吧！