---

前言

逻辑函数有多种基本表示形式：其中两种是标准形式：标准与或式&标准或与式（都是唯一的）。标准与或式称为最小项之和的形式;标准或与式称为最大项之积的形式。

---

提示：以下是本篇文章正文内容，下面案例可供参考

一、逻辑函数的规范范式是什么？

布尔代数中，由标准逻辑运算符组成的布尔函数可以按利用了对偶性“最小项”和“最大项”的概念的规范形式来表达的形式。

二、SOP（Sum Of Product）形式

1.最小项（minterm）

1. 我们定义：最小项（minterm）为由逻辑与和补运算符组成的逻辑表达式。（维基百科定义）。
2. 定义二：在n个变量的逻辑函数中，如果m是n变量的“与项”（之积），且每个变量都以原变量或反变量的形式出现一次，则m被称为最小项。（这个定义更好理解）
3. 规定：所有变量都要出现且只能出现一次，变量本身和补不能同时出现。
   1. 由于每个变量都有自身和补的两种形式（但不能同时出现），易知n个变量有2的n次方个最小项。
   2. 最小项和一般与项的区别就是最小项中的变量都要以原变量或者反变量形式出现一次。
   3. 三变量最小项也称为标准与项。标准与项组成的表达式就叫标准与或式。
4. 表示：用mi来表示最小项，i对应取值的等效十进制数。
5. 因为大概率为0，只有一个值为1（这也是为什么叫最小项），常用的是真值为1的最小项，有时最小项也特指真值为1的最小项。
   根据可以将其分别命名为m0，m1，m2，m3
   eg.如下图真值表
   a b f(a, b)
   0 0 1
   0 1 0
   1 0 1
   1 1 0
   在4行中，可以分别找出a和b组合成的真值为1的最小项
   分别如下。
   ~a ~a m0
   ~a b m1
   a ~b m2
   ~a ~b m3
6. 最小项的性质
   

2.最小项和SOP的关系

1. 为什么要定义最小项？ 对于复杂的逻辑函数而言，从真值表推函数过程繁琐。使用最小项后，找到原函数输出为1的最小项进行加和（或运算）就是该函数的逻辑表达式。
   原因是，当我们分析真值表的时候，只要找出所有当输出为1的输入组合（AND组合）就可以。因真值表枚举了所有输入进行AND的情况，只有符合f（a，b）的值的才可以入选，而逻辑运算除了只有NOT，AND，OR。而一个逻辑回路里，可以有很多输入组合其输出结果为1，所以只要把这些情况相（加）或就能得到表达式。
2. 而我们得到的加和表达式就叫做SOP规范形式（sum of product）。式子的意思是：把两个AND的结果相OR（把两个积相加）。

三、POS（ProductOfSum）形式

1.最大项（maxterm）

1. 定义：最大项（maxterm）为由逻辑或和补运算符组成的逻辑表达式。（维基百科定义）
2. 定义二：在n个变量的逻辑函数中，如果M是n变量的“或项”（之和），且每个变量都以原变量或反变量的形式在M中出现一次，则M被称为最大项。（有别于最小项m，用M表示）
3. 规定：每个变量只能出现一次，变量本身和补不能同时出现。
   1. 由于每个变量都有自身和补的两种形式（但不能同时出现），易知n个变量有2^n个最小项。
   2. 最大项和一般或项的区别就是最大项中的变量都要以原变量或者反变量形式出现一次。
   3. 三变量最大项也称为标准或项。标准或项组成的表达式就叫标准或与式。
4. 性质：因为该项取1的可能性最大，常用的是值为0的时候。

2.最大项和POS的关系

1. 在一个或与式中，如果所有的或项均为最大项，则称这种表达式为POS。（标准或与式、最大项之积）。
2. 方法：先求得最小项之和的形式，再转化成最大项之积的形式。
3. 最小项表达式和最大项表达式的关系：若F的最小项表达式为F=,由最小项的性质则F’=∑mk;利用狄摩根定律，得F=（∑mk）’=∏（mk）’=∏Mk
4. 即，若已知最小项表达式，则最大项表达式为编号i以外的最大项的乘积。
5. 例：将下式变成最大项表达式。F=ABC+A’BC+C’D’=∑m(0,4,6,7,8,13,14,15)=∏M(1,2,3,5,9,10,11,12)

四、最大项&最小项

相同编号的最大项和最小项之间存在互补关系，即：mi’=Mi；Mi’=mi