周期性函数可以在傅里叶级数中展开，也就是说，如果给定了各个频率分量的幅度和相位，则可以确定原信号。频谱是信号的一种图形表示方法，它将各个频率分量上的系数关系用图形的方法表示出来，用来说明信号的特性。并且后续可以给信号处理带来很多便利。

频谱图由两个部分组成：振幅频谱和相位频谱。

• 振幅频谱用来表示信号含有的各个频率分量的幅度，其横坐标为频率，纵坐标为各个对应频率分量的幅度；

• 相位频谱用来表示含有各个频率分量的相位。其横坐标为频率，纵坐标为各个对应频率分量的相位。

傅里叶级数分为实数形式的傅里叶级数以及复数形式的傅里叶级数，因此，傅里叶级数的频谱对应的也有两种形式。

本篇文章中所用到的图像来自于东南大学孟桥老师的课件，感谢老师对学生的耐心讲解。

1. 实数形式傅里叶级数对应的频谱

由实数形式傅里叶级数：
$$\begin{array}{rl}f(t)& =\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{+\infty }{A}_{n}cos(n\Omega t+{\phi }_n)\\ A_n& =\sqrt{a_n^2+b_n^2},\\ {\phi }_n& =-arctan\frac{b_n}{a_n}\end{array}$$
其对应的频谱图示意图如下：

由于这种形式的傅里叶级数中的级数$n$一定大于等于，因此这种频谱的横坐标仅有正数，这种频谱也称为单边频谱。

比如周期性方波的频谱，其傅里叶级数为：
$$f(t)=\frac{4}{\pi }[sin(\Omega t)+\frac{1}{3}sin(3\Omega t)+\frac{1}{5}sin(5\Omega t)+\cdots +\frac{1}{n}sin(n\Omega t)],n为奇数$$
即：
$$a_n=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(t)cos(n\Omega t)dt=0$$

$$b_n=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(t)sin(n\Omega t)dt=\{\begin{array}{rlrl}& \frac{4}{n\pi }& ,& n为奇数\\ & 0& ,& n为偶数\end{array}$$

所以：
$$A_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2}=\{\begin{array}{rlr}& \frac{4}{n\pi }& 当n为奇数\\ & 0& 当n为偶数\end{array}$$

$${\phi }_n=-arctan\frac{b_n}{a_n}=\{\begin{array}{rlr}& -\frac{\pi }{2}& 当n为奇数\\ & 0& 当n为偶数\end{array}$$

由此可以做出其频谱：

在频谱中，横坐标表示的谐波的次数，但是更常见的，横坐标使用各个正弦分量的实际频率来表示。

单边频谱的特点：

1. 在横坐标为0的点上，即直流分量上，幅度频谱中表示的直流分量幅值是真实信号幅值的两倍。即：频谱上在$\omega =0$的点上信号的实际的直流分量幅值应该是频谱中显示的幅值的一半。
2. 如果仅观察幅值随频率的变化趋势，则无考虑。

2. 复指数形式傅里叶级数对应的频谱

由复指数形式的傅里叶级数：
$$f(t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }[C_n\cdot e^{j(n\Omega t)}]$$
其中：
$$C_n=\frac{{\int }_{t_1}^{t_2}f(t)\cdot (e^{jn\Omega t}{)}^{\ast }}{{\int }_{t_1}^{t_2}(e^{jn\Omega t})(e^{jn\Omega t}{)}^{\ast }}=\frac{1}{T}{\int }_{t_1}^{t_2}f(t)e^{-jn\Omega t}dt$$
其对应的频谱的幅值和相位为：
$$\begin{array}{rl}& 幅值：|C_n|\\ & 相位：ang(C_n)\end{array}$$
由于这种形式的傅里叶级数中的$n$存在正值，也存在幅值，因此这种形式的频谱在$n\ge 0和n<0$都有意义，这种频谱也称为双边频谱

同样以周期性方波的频谱为例：
$$C_n=-j\frac{b_n}{2}=\{\begin{array}{rlr}& -j\frac{2}{n\pi }& 当n为奇数\\ & 0& 当n为偶数\end{array}$$
其频谱如下：

双边频谱的特点：

1. 从频谱图中观察可知：对于周期方波这个实数信号而言，其幅值是偶对称，而相位是奇对称。这与在信号与系统（9） 的分析吻合。单边频谱无法体现这一点。
2. 通常来说，由于实数信号的幅度频谱具备对称性，因此只需要观察$n\ge 0$部分即可，其幅值形状与单边频谱类似，但是幅值上是单边频谱显示幅值的一半，相位频谱与单边频谱相同。
3. 单边频谱在物理上容易理解，而双边频谱对于信号处理会有计算上的优势，所以双边频谱是重点。
4. 双边频谱在$\omega =0$的点上的幅值，即直流信号，其大小直接表示了信号的直流分量的大小，不需要其他处理。这要比单边频谱更方便。

3. 周期信号频谱有什么特点？

1. 离散性：其线条不是连续的
2. 谐波性：线条仅仅出现在基波频率$\Omega$的整数倍点上
3. 收敛性：实际信号的幅频特性总是随着频率趋向无穷大而趋向于零

4. 周期信号的时域特性如何对应到频域特性？

周期信号的时域特性也就是信号的周期、脉冲宽度、幅值等，如何反应到频域特性如幅值、相位、谱线间隔、收敛性等呢？由于上述周期性方波信号的傅里叶级数展开后，其频谱无法体现时域信号中的参数，因此这里引入新的例子：周期性方波脉冲，即：
$$f(t)=\{\begin{array}{rl}A,& -\frac{\tau }{2}+kT\le t\le \frac{\tau }{2}+kT\\ 0,& 其他\end{array}$$
其图像如下所示：

其中$\tau$是脉冲的宽度，T是周期，幅值是A。

经过傅里叶级数展开后，其系数为：
$$C_n=\{\begin{array}{rlr}& \frac{2A}{n\Omega T}sin(\frac{n\Omega \tau }{2})& n\ne 0\\ & \frac{2A\tau }{T}& n=0\end{array}$$
观察上式可知，系数$C_n$可以用抽样函数将$n\ne 0$和$n=0$统一起来，即：
$$C_n=\left\{\begin{array}{rlr}& \frac{2A}{n\Omega T}sin(\frac{n\Omega \tau }{2})& n\ne 0\\ & \frac{2A\tau }{T}& n=0\end{array}\right\}=\frac{A\tau }{T}Sa(\frac{n\Omega \tau }{2})$$
其中$Sa(x)=\frac{sinx}{x}$，是抽样函数。

通过上式画出周期方波脉冲信号的频谱如下：

下面将通过改变时域中信号参数，观察频谱的变化，进而得出结论

1. 改变周期方波信号的周期T，保持脉冲宽度，其频谱变化如下：

   

   从上述频谱中可以观察出3点：

   • 谱线密度随着周期T的增加而增加，即随着T的增大，相邻谱线之间的间距越小。这是因为频率$f=\frac{1}{T}$，且$\Omega =\frac{2\pi }{T}$的原因。很显然当T增加时，$n\Omega$将变小，因此谱线之间的间距变小。
   • 谱线的幅值逐渐降低。观察$C_n=\frac{A\tau }{T}Sa(\frac{n\Omega \tau }{2})$可知，当T增大时，其幅值$\frac{A\tau }{T}$将减小。
   • 不论T增大还是减小，谱线的包络线形状上保持不变，因为Sa函数除幅值外没有变化。

   因此可以得出结论：信号周期加大，对增幅的收敛性没有影响，但是会使谱线的密度加大。当T趋近于无穷大时，信号成为非周期信号，谱线幅值无穷小，谱线密度加大，谱线称为连续谱线。

2. 改变周期方波信号的脉冲宽度$\tau$，保持周期不变，其频谱变化如下：

   

   观察谱线可以看出：

   • 随着脉冲宽度下降，由$C_n=\frac{A\tau }{T}Sa(\frac{n\Omega \tau }{2})$可知，Sa函数的尺度扩大，即零点的出现逐渐向后推迟。
   • 收敛性变差，这是因为Sa函数的尺度逐渐变大导致的。
   • 谱线的间隔不变，因为Sa函数中自变量的$n\Omega $没有改变。

   因此可以得出结论：信号的宽度变小，信号的收敛性变差，谱线的间隔不变，且信号的能量向高频扩散。

问题：什么是信号的频带？

由于信号在频谱上的收敛性，可以将信号分量主要集中的频率区间作为主要研究对象，用来研究信号的特性，这部分频率区间称为信号的频带

定义频带有很多种方式，如：

1. 以信号最大幅度的1/10为限，其它部分忽略不计。
2. 以信号振幅频谱中的第一个过零点为限，零点以外部分忽略不计。
3. 以包含信号总能量的90%处为限，其余部分忽略不计。

如果信号的边沿变化的越快，则信号的频带越宽，也就是说包含的交流分量在幅值上随着频率的增加收敛的更慢。

问题：周期方波脉冲的幅值为什么出现了负值？

事实上，对于复指数形式的傅里叶级数的频谱而言，其幅值应该为$C_n$的绝对值，即$|C_n|$来表示。但是由复变函数相关的内容可知，虚数往往意味着旋转，通常在复平面上，纵轴为虚轴坐标，横轴为实数坐标。对于一个实数信号来说，其幅值为实数，其幅值对应的相位只可能出现在实数坐标上，即相位仅可能是$\pi$或$-\pi$。因此，对于实数信号而言，仅需关心相位的符号即可。而Sa函数中，正好体现了幅值分量对应的相位符号。因此，可以用一副频谱图，体现相位、相位大小以及幅值大小等信息，无需再对相位进行求解。

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