一、连续型随机变量与概率密度函数

1、概率密度函数定义：非负可积函数f（x），f（x）>=0.a<=b,P{a<x<=b}=f(x)在(a,b)范围内的积分。其中x称作连续变量，f(x)称作概率分布密度函数。

2、概率分布密度函数性质：①f(x)>=0    ②f(x)在-∞到+∞的积分=1    ③连续变量取个别值的概率为0

④

 

 ⑤概率为0的事件未必为不可能事件，概率为1的事件未必为必然事件

二、分布函数

1.离散型和连续型随机变量都有分布函数，但是要区别说明。

2.分布函数公式F(x)=P(X<=x)，x∈（-∞，+∞），F(x)∈[0,1]。函数的含义是X取值不超过x的概率。F(x)是一个普通的实函数

3.分布函数性质

①：x∈（-∞，+∞），F(x)∈[0,1]。②：F(x)不减函数，即x1<=x2,F(x1)<=F(x2)

③：     ④：

⑤：F(x)是右连续的（离散型随机变量是右连续，连续型随机变量是连续），且至多有可列个间断点

 右连续指的是从函数点右边逼近时的函数值等于这一点的函数值，，表示为F(a+0)。

左连续指的是从函数点左边逼近时的函数值等于这一点的函数值，,表示为F(a-0)。

连续指的是某一点处极限值存在，函数值存在，且极限值等于函数值，从左右逼近的函数值等于这一点的函数值，

⑥：下面的公式对离散型和连续型随机变量都成立

4、离散型随机变量的分布函数

离散型随机变量是右连续，从图像中可以看出从0到2的线上，从右向左趋近会趋于1/2。而不是左连续的，从图像中可以看出从0到1的线上，从左向右趋近到1的值为1/4，但1处的值实际上是1，所以不是左连续。

三、分布函数

离散型随机变量的分布函数

1、0-1分布{又叫伯努利分布}（有两种结果0，1。且试验只做一次）

0-1分布是二项分布的一个特例

2、几何分布

假设事件A发生的概率是P(A)=P,做n次试验，事件A在第k次是首次发生，前k-1次未发生。则A事件在第k次发生的概率为

 3、二项分布

假设事件A发生的概率是P(A)=P,做n次试验，事件A发生了k次。则A事件发生k次的概率为

二项分布的图像如下图所示，对于固定的n以及p，当k增加时，概率P{X=k}先是随之增加直至达到最大值，随后单调减少。可以证明，一般的二项分布也具有这一性质。且

1. 当（n+1）p不为整数时，二项概率P{X=k}在k=[(n+1)p]时达到最大值； 

2. 当（n+1）p为整数时，二项概率P{X=k}在k=(n+1)p和k=(n+1)p-1时达到最大值。

4、泊松分布

泊松分布在计算的时候可以查表来计算。

某些二项分布可以用泊松分布的计算公式来计算。需要满足的条件是：n较大，p较小，np适中。n>=100,λ=np<=10

5、超几何分布

超几何分布中，当N很大，n/N很小的时候，可以看成二项分布，然后再近似成泊松分布进行计算

连续型随机变量的分布函数

6、均匀分布

均匀分布的概率密度函数：

均匀分布的分布函数：

分布函数的图像：

7、指数分布

8、正态分布

标准正态分布

一般正态分布转化为标准正态分布

概率密度函数：将转化为。公式为

分布函数：将转化为。公式为

 

例：

 

四、随机变量函数的分布

离散型随机变量

连续型随机变量

方法：①：根据给定的关于随机变量的函数计算分布函数，化解出随机变量的分布函数

           ②：对化解出的等式左右两边求导，就可得到各自的概率密度函数

           ③：注意在求导的的时候要导到底

           ④：若关于随机变量的函数里有未知的变量，需要考虑变量与0的关系

线性函数和非线性函数

线性函数指变量前可以有系数并相加减的函数